2019年高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4

2.2.2向量减法运算及其几何意义课标要求:1.了解相反向量的概念.2.了解差向量的概念和向量加减法间的关系.3.掌握向量减法运算,理解其几何意义.自主学习1.相反向量与a长度___________,方向___________的向量,叫做a的相反向量.(1)规定:零向量的相反向量仍是_____________;(2)-(-a)=_________;(3)a+(-a)=(-a)+a=_______;(4)若a与b互为相反向量,则a=_______,b=________,a+b=________.探究1:a的相反向量是什么?-a的相反向量是什么?零向量的相反向量是什么?提示:与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量,记作-a,并且有a+(-a)=0.-a的相反向量是a,即-(-a)=a.规定:零向量的相反向量仍是零向量.知识探究相等零向量a0-b-a0相反(-b)相反向量2.向量减法(1)定义:a-b=a+______,即减去一个向量相当于加上这个向量的________.(2)几何意义:如图,在平面内任取一点O,作向量OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从向量_____的终点指向向量______的终点的向量.ba探究2:向量减法的三角形法则是什么?提示:当把两个向量a,b的始点移到同一点时,它们的差向量a-b可以通过下面的作法得到:①连接两个向量(a与b)的终点;②差向量a-b的方向是指向被减向量的终点.这种求差向量a-b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点,连接两终点,方向指被减”.【拓展延伸】非零共线向量a,b的差为a-b,(1)若a,b反向,则a-b与a同向,且︱a-b︱=︱a︱+︱b︱,其几何意义如图(1)所示;(2)若a,b同向,①若︱a︱︱b︱,则a-b与a同向,且︱a-b︱=︱a︱-︱b︱,其几何意义如图(2)所示;②若︱a︱︱b︱,则a-b与a反向,且︱a-b︱=︱b︱-︱a︱,其几何意义如图(3)所示;③若︱a︱=︱b︱,则a-b=0,其几何意义如图(4)所示.自我检测BC1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是()(A)EF=OF+OE(B)EF=OF-OE(C)EF=-OF+OE(D)EF=-OF-OE2.如图所示,向量AB=a,AC=b,CD=c,则向量BD可以表示为()(A)a+b-c(B)a-b+c(C)b-a+c(D)b-a-cD答案:23.若向量a与b反向,且︱a︱=︱b︱=1,则︱a-b︱等于()(A)0(B)1(C)2(D)24.已知菱形ABCD边长都是2,求︱AB-CB+CD︱=.解析:因为AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD,所以︱AB-CB+CD︱=︱AD︱=2.5.D,E,F分别是△ABC边AB,BC,CA的中点,则下列等式:①FD+DA-AF=0;②FD+DE-EF=0;③DE+DA-BE=0;④AD+BE-AF=0.其中正确的序号为.答案:③④题型一向量的减法运算课堂探究解:(1)(BA-BC)-(ED-EC)=CA-CD=DA.【例1】化简:(1)(BA-BC)-(ED-EC);(2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB).(2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB)=AC+BA-DC+(DO+OB)=AC+BA-DC+DB=BC-DC+DB=BC+CD+DB=BD+DB=0.题后反思向量减法运算的解题思路:(1)转化为加法运算;(2)直接利用减法运算的几何意义,即三角形法则.解:(1)法一原式=DB-DC=CB.法二原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB.即时训练1-1:化简:(1)AB-AD-DC;解:(2)法一如图①所示,在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b,再作OC=c,则CB=a+b-c.法二如图②所示,在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b,再作CB=c,连接OC,则OC=a+b-c.(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.题型二用已知向量表示其他向量(2)因为OA=a,OB=b,OC=c,OF=f,所以AB+CF=(OB-OA)+(OF-OC)=b+f-a-c.【例2】如图所示,已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF=f,试用a,b,c,d,e,f表示:(1)AD-AB;(2)AB+CF;解:(1)因为OB=b,OD=d,所以AD-AB=BD=OD-OB=d-b.(3)BF-BD.解:(3)因为OD=d,OF=f,所以BF-BD=DF=OF-OD=f-d.方法技巧用已知向量表示其他向量的一般步骤为(1)观察待表示的向量位置;(2)寻找相应的平行四边形或三角形;(3)运用法则找关系,化简得结果.两个向量差与和的长度题型三解:如图所示,设AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作▱ABCD.则AC=a+b,DB=a-b,所以︱AC︱=︱DB︱.又四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形,故AD⊥AB.在Rt△DAB中,︱AB︱=6,︱AD︱=8,由勾股定理得︱DB︱=22ABAD=2268=10.所以︱a-b︱=10.【例3】已知︱a︱=6,︱b︱=8,且︱a+b︱=︱a-b︱,求︱a-b︱.方法技巧︱a+b︱与︱a-b︱的关系:按向量加法的平行四边形法则、减法的三角形法则得出︱a+b︱与︱a-b︱是平行四边形的两条对角线是解题关键.即时训练3-1:已知向量a,b满足︱a︱=6,︱b︱=8,︱a-b︱=10,则︱a+b︱=.解析:因为︱a︱=6,︱b︱=8,︱a-b︱=10,所以︱a︱2+︱b︱2=︱a-b︱2,如图a,b,a-b构成直角三角形.所以︱a+b︱=︱a-b︱=10.答案:10