2019年高考数学二轮复习 专题一 常考基础题 第3讲 平面向量课件 新人教A版

第3讲平面向量核心整合1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有的量叫做向量,向量的大小叫做向量的.(2)零向量:长度为的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于的向量.(4)平行向量:方向相同或的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向的向量.(6)相反向量:长度相等且方向的向量.方向模01个单位相反相同相反向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|,当λ0时,λa与a的方向相同;当λ0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的条件是当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.4.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.充要不共线有且只有λ1e1+λ2e2基底5.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:a+b=,a-b=,λa=,|a|=2211xy.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=,|AB|=222121xxyy.(x2-x1,y2-y1)6.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔.7.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|·cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ,规定0·a=0.(2)向量数量积的运算律①a·b=b·a;②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);③(a+b)·c=a·c+b·c.x1y2-x2y1=0非零(3)平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),结论几何表示坐标表示模|a|=aa|a|=2211xy夹角cosθ=ababcosθ=121222221122xxyyxyxya⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0【归纳拓展】高考对向量的考查综合性较强,通常以平面向量的基本定理及数量积为主,特别是近几年与空间向量相结合进行考查.核心突破考点一平面向量的线性运算【例1】(1)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()(A)a∥b(B)a⊥b(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b解析:(1)法一(代数法)将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,所以a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,所以a·b=0,所以a⊥b.故选B.法二(几何法)如图所示.在▱ABCD中,设AB=a,AD=b,所以AC=a+b,DB=a-b,因为|a+b|=|a-b|,所以平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,所以a⊥b.故选B.答案:(1)B(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.解析:(2)DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC,因为DE=λ1AB+λ2AC,所以λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12.答案:(2)12方法技巧(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或与已知条件中的和式比较,然后求参数.(4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.【题组训练】1.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于()(A)14a+12b(B)23a+13b(C)12a+14b(D)13a+23b解析:如图,AF=AD+DF,由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,故DF=13AB,则AF=12a+12b+13(12a-12b)=23a+13b.故选B.2.点D为△ABC内一点,且DA+4DB+7DC=0,则BCDABCSS等于()(A)47(B)13(C)712(D)112解析:分别延长DB,DC至B1,C1,使得DB1=4DB,DC1=7DC,则DA+1DB+1DC=0,则1DABS=1DACS=11DBCS=S,S△DAB=14S,S△DAC=17S,S△DBC=128S,S△ABC=14S+17S+128S=1228S,BCDABCSS=1281228SS=112,故选D.D3.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()(A)(0,12)(B)(0,13)(C)(-12,0)(D)(-13,0)解析:设CO=yBC,因为AO=AC+CO=AC+yBC=AC+y(AC-AB)=-yAB+(1+y)AC,因为BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),所以y∈(0,13),因为AO=xAB+(1-x)AC,所以x∈(-13,0).故选D.D考点二平面向量基本定理的应用【例2】在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,则λ+μ=.解析:选择AB,AD作为平面向量的一组基底,则AC=AB+AD,AE=12AB+AD,AF=AB+12AD,又AC=λAE+μAF=(12λ+μ)AB+(λ+12μ)AD,于是得11,211,2即2,32.3故λ+μ=43.答案:43【互动探究】在本例条件下,若AE=c,AF=d,试用c,d表示AB,AD.解:设AB=a,AD=b,因为E,F分别为CD和BC的中点,所以BF=12b,DE=12a,于是有1,21,2cbadab解得22,322.3adcbcd即AB=23(2d-c)=43d-23c,AD=23(2c-d)=43c-23d.方法技巧应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的.【题组训练】1.如图所示,在四边形ABCD中,DC=13AB,E为BC的中点,且AE=x·AB+y·AD,则3x-2y=.解析:AC=AD+DC=AD+13AB,又E为BC的中点,所以AE=12(AB+AC)=12AD+23AB,根据平面向量的基本定理,知y=12,x=23,所以3x-2y=3×23-2×12=1.答案:12.如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若OC=mOA+nOB,则m+n的取值范围是.解析:由题意得OC=kOD(k0),又|k|=OCOD1,所以-1k0.又因为B,A,D三点共线,所以OD=λOA+(1-λ)OB,所以mOA+nOB=kλOA+k(1-λ)OB,所以m=kλ,n=k(1-λ),所以m+n=k,从而m+n∈(-1,0).答案:(-1,0)考点三平面向量的坐标运算【例3】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.求:解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(1)3a+b-3c;(2)满足a=mb+nc的实数m,n;(3)M,N的坐标及向量MN的坐标.解:(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以65,385,mnmn解得1,1.mn(3)设O为坐标原点,因为CM=OM-OC=3c,所以OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M的坐标为(0,20).又CN=ON-OC=-2b,所以ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以N的坐标为(9,2).故MN=(9-0,2-20)=(9,-18).方法技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为()(A)(35,-45)(B)(45,-35)(C)(-35,45)(D)(-45,35)【题组训练】A解析:因为A(1,3),B(4,-1),所以AB=(3,-4),所以|AB|=5,所以与AB同方向的单位向量为ABAB=(35,-45).故选A.2.已知|OA|=1,|OB|=3,OA·OB=0,点C在∠AOB内,且OC与OA的夹角为30°,设OC=mOA+nOB(m,n∈R),则mn的值为()(A)2(B)52(C)3(D)4C解析:因为OA·OB=0,所以OA⊥OB,以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系,OA=(1,0),OB=(0,3),OC=mOA+nOB=(m,3n).因为tan30°=3nm=33,所以m=3n,即mn=3,故选C.3.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=.解析:以向量a和b的交点为坐标原点建立坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).由c=λa+μb可得16,32,解得2,1,2所以=4.答案:4【例4】设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线;(2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,AF=3e1-ke2,且A,C,F三点共线,求k的值.考点四共线向量的应用(1)证明:AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,所以AC=AB+BC=4e1+e2,又CD=-8e1-2e2,所以CD=-2AC,所以AC与CD共线.又因为AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共线.(2)解:因为AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,所以AC=AB+BC=3e1-2e2.因为A,C,F三点共线,所以AC∥AF,从而存在实数λ,使得AC=λAF.所以3e1-2e2=3λe1-λke2,又e1,e2是不共线的非零向量,所以33,2,k因此k=2.所以实数k的值为2.方法技巧(1)共线向量定理的应用①可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.②若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.(2)证明三点共线的方法若AB=λAC,则A,B,C三点共线.【题组训练】1.下列命题中正确的是()(A)向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,