2019年高考数学二轮复习 专题四 函数概念、基本初等函数及导数 第2讲 基本初等函数的性质及应用课

第2讲基本初等函数的性质及应用核心整合1.指数与指数函数(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna=nma(a0,m,n∈N*,且n1).于是,在条件a0,m,n∈N*且n1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定mna=1mna(a0,m,n∈N*,且n1).0的正分数指数幂等于__;0的负分数指数幂____________.没有意义0(2)有理数指数幂的运算性质:aras=_____,(ar)s=_______,(ab)r=______,其中a0,b0,r,s∈Q.arsarbrar+s(3)指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域R值域_________________性质过定点___________当x0时,______;当x0时,_____当x0时,______;当x0时,____在(-∞,+∞)上是____________在(-∞,+∞)上是____________(0,+∞)(0,1)y10y10y1y1增函数减函数【归纳拓展】(1)指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,1a).(2)指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象越高,底数越大.2.对数与对数函数(1)对数的概念一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作_______,其中_______叫做对数的底数,_____叫做真数.(2)对数的性质与运算法则①对数的运算法则如果a0,且a≠1,M0,N0,那么a.loga(MN)=_______________________;b.loga=______________________;c.logaMn=__________________(n∈R).x=logaNaNlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaM③对数的换底公式logab=loglogccba(a0,且a≠1;c0,且c≠1;b0).②对数的性质logaNa=______;logaaN=______(a0且a≠1).NN(3)对数函数的图象与性质y=logaxa10a1图象定义域_____________值域____________性质过定点__________当x1时,_____;当0x1时,___当x1时,____;当0x1时,____在(0,+∞)上是______________在(0,+∞)上是____________(0,+∞)R(1,0)y0y0y0y0增函数减函数【归纳拓展】(1)换底公式的两个重要结论①logab=1logba;②logmabn=nmlogab.其中a0且a≠1,b0且b≠1,m,n∈R.(2)对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.3.幂函数及其性质(1)定义:一般地,函数y=________叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义;②幂函数的图象过定点(1,1);③当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;④当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.xα【归纳拓展】(1)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当00a＞，＜时恒有f(x)0,当00a＜，＜时,恒有f(x)0.(2)幂函数的图象和性质①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.②幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.核心突破考点一指数、对数运算【例1】化简与求值.(1)22.53150.064-3338-π0;解:(1)原式=253125641000-13278-1=1523523410（-）-13332-1=52-32-1=0.(2)266661log3log2log18log4;解:(2)原式=266666612log3(log3)loglog(63)3log4=26666612log3(log3)(1log3)(1log3)log4=22666612log3(log3)1(log3)log4=6621log32log2（）=666loglog3log26-=66loglog22=1.(3)已知loga2=m,loga3=n,求的值.解:(3)因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.方法技巧(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(2)对数运算的一般思路①拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.②合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.【题组训练】解析:原式=2×333223322210abab=21+3×10-1=85.答案:851.化简1214·31113324(0.1)()abab=.2.2(lg2)2+lg2·lg5+2log2lg21=.解析:原式=2×（12lg2）2+12lg2×lg5+2lg21=12lg2(lg2+lg5)+1-12lg2=12lg2+1-12lg2=1.答案:13.若a=log43,则2a+2-a=.解析:因为a=log43=22log3=12log23=log23,所以2a+2-a=2log32+2log32=3+23log32=3+33=433.答案:4334.计算:120.16+（-59）0+4332+16-0.75+130.001.解:120.16+（-59）0+4332+16-0.75+130.001=2.5+1+16+18+110=78940.考点二指数函数的图象及其应用【例2】已知实数a,b满足等式2017a=2018b,下列五个关系式:①0ba;②ab0;③0ab;④ba0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:如图,观察易知,a,b的关系为ab0或0ba或a=b=0.故选B.方法技巧(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.【题组训练】1.已知函数f(x)=︱2x-1︱,abc且f(a)f(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()(A)a0,b0,c0(B)a0,b≥0,c0(C)2c(D)2a+2c2解析:作出函数f(x)=︱2x-1︱的图象,如图,因为abc且f(a)f(c)f(b),结合图象知,0f(a)1,a0,c0,所以02a1.所以f(a)=︱2a-1︱=1-2a1,所以f(c)1,所以0c1.所以12c2,所以f(c)=︱2c-1︱=2c-1,又因为f(a)f(c),所以1-2a2c-1,所以2a+2c2.故选D.D2.函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()(A)a1,b0(B)a1,b0(C)0a1,b0(D)0a1,b0解析:由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b0.故选D.D3.若曲线︱y︱=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.解析:曲线︱y︱=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可知,如果︱y︱=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].答案:[-1,1]考点三对数函数的图象及其应用【例3】已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()(A)a1,c1(B)a1,0c1(C)0a1,c1(D)0a1,0c1解析:由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数,所以0a1,因为图象与x轴的交点在区间(0,1)之间,所以该函数的图象是由函数y=logax的图象向左平移不到1个单位后得到的,所以0c1.故选D.方法技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.【题组训练】1.下列各式中,不成立的是()(A)21.5(B)0.6180.40.6180.6(C)lg2.7lg3.1(D)log0.30.6log0.30.4D解析:因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,所以log0.30.6log0.30.4,因此D错误.222.设f(x)=︱ln(x+1)︱,已知f(a)=f(b)(ab),则()(A)a+b0(B)a+b1(C)2a+b0(D)2a+b1解析:作出函数f(x)=︱ln(x+1)︱的图象如图所示,由f(a)=f(b),得-ln(a+1)=ln(b+1),即ab+a+b=0.0=ab+a+b2()4ab+a+b,即(a+b)(a+b+4)0,显然-1a0,b0,所以a+b+40,所以a+b0.故选A.A考点四比较大小【例4】(1)下列各式比较大小正确的是()(A)1.72.51.73(B)0.6-10.62(C)0.8-0.11.250.2(D)1.70.30.93.1解析:(1)选项B中,因为y=0.6x是减函数,所以0.62.故选B.(2)已知定义在R上的函数f(x)=2︱x-m︱-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()(A)abc(B)acb(C)cab(D)cba解析:(2)因为f(x)=2︱x-m︱-1为偶函数,所以m=0.因为a=f()=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25log230,而函数f(x)=2︱x︱-1在(0,+∞)上为增函数,所以f(log25)f(log23)f(0),即bac.故选C.方法技巧指数、对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性;(2)化同真数后利用图象比较;(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.【题组训练】D1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=（12）-1.5,则()(A)y3y1y2(B)y2