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三角函数第五章5.6函数y=Asin(ωx+φ)第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)课前自主预习1.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.2.理解y=Asin(ωx+φ)中ω、φ、A对图象的影响.3.掌握y=sinx与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响(2)ω(ω0且ω≠1)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响(3)A(A0且A≠1)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响温馨提示:A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系.(2)ω越大,函数图象的周期越小,ω越小,周期越大,周期与ω为反比例关系.(3)φ大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)由函数y=sinx+π3的图象得到y=sinx的图象,必须向左平移.()(2)把函数y=sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y=sin3x的图象.()(3)将函数y=sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A(A0)倍,便得到函数y=Asinx的图象.()[答案](1)×(2)×(3)√课堂互动探究题型一用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象【典例1】用“五点法”作出函数y=32sin13x-π3的简图.[思路导引]先列表,再描点,最后连线.[解]函数y=32sin13x-π3的周期T=2π13=6π,先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象.列表如下:xπ5π24π11π27π13x-π30π2π3π22π32sin13x-π30320-320描点、连线,如图所示,利用该函数的周期性,把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展,从而得到函数y=32sin13x-π3的简图(图略).“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的图象的步骤(1)列表.令ωx+φ=0,π2,π,3π2,2π,依次得出相应的(x,y)值.(2)描点.(3)连线得函数在一个周期内的图象.(4)左右平移得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象.[针对训练]1.已知f(x)=2sinx2+π3.(1)在给定的坐标系内,用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;(2)写出f(x)的单调递增区间;(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值.[解](1)列表:x2+π30π2π3π22πx-2π3π34π37π310π3f(x)020-20作图:(2)由2kπ-π2≤x2+π3≤2kπ+π2,得4kπ-5π3≤x≤4kπ+π3,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为4kπ-5π3,4kπ+π3,k∈Z.(3)当x2+π3=π2+2kπ,即x=π3+4kπ(k∈Z)时,f(x)max=2.题型二函数图象的平移变换【典例2】要得到函数y=sin4x-π3的图象,只需将函数y=sin4x的图象()A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位[思路导引]注意平移变换是就“x”而言.[解析]由y=sin4x-π3=sin4x-π12得,只需将y=sin4x的图象向右平移π12个单位即可,故选B.[答案]B平移变换的策略(1)先确定平移方向和平移的量.(2)当x的系数是1时,若φ0,则左移φ个单位;若φ0,则右移|φ|个单位.当x的系数是ω(ω0)时,若φ0,则左移φω个单位;若φ0,则右移|φ|ω个单位.[针对训练]2.将函数y=sin2x-π6向左平移π6个单位,可得到函数图象是()A.y=sin2xB.y=sin2x-π6C.y=sin2x+π6D.y=sin2x-π3[解析]将函数y=sin2x-π6向左平移π6个单位,得y=sin2x+π6-π6=sin2x+π6,故选C.[答案]C题型三函数图象的伸缩变换【典例3】已知函数y=12sin2x+π6+54,该函数的图象可由y=sinx,x∈R的图象经过怎样的变换得到?[思路导引]由y=sinx的图象通过变换得y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:一是先伸缩后平移,二是先平移后伸缩.[解]解法一:步骤:①把函数y=sinx的图象向左平移π6个单位长度,可以得到函数y=sinx+π6的图象;②把函数y=sinx+π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,可以得到函数y=sin2x+π6的图象;③把函数y=sin2x+π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变,可以得到函数y=12sin(2x+π6)的图象;④再把得到的函数y=12sin2x+π6的图象向上平移54个单位长度,就能得到函数y=12sin2x+π6+54的图象.解法二:步骤:①把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,而纵坐标不变,得到函数y=sin2x的图象;②把函数y=sin2x的图象向左平移π12个单位长度,可以得到函数y=sin2x+π6的图象;③把函数y=sin2x+π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12,而横坐标不变,可以得到函数y=12sin2x+π6的图象;④再把得到的函数y=12sin2x+π6的图象向上平移54个单位长度,就能得到函数y=12sin2x+π6+54的图象.由函数y=sinx的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤[针对训练]3.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是()A.y=sin2x-π3,x∈RB.y=sinx2+π6,x∈RC.y=sin2x+π3,x∈RD.y=sin2x+2π3,x∈R[解析]把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y=sinx+π3的图象,再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍,得到函数y=sin2x+π3的图象.[答案]C4.把函数y=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y=sinx,则()A.ω=2,φ=π6B.ω=2,φ=-π3C.ω=12,φ=π6D.ω=12,φ=-π3[解析]将函数y=sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得解析式为y=sin2x的图象,再向右平移π6个单位长度,得解析式为y=sin2x-π6=sin2x-π3的图象,所以ω=2,φ=-π3.故选B.[答案]B课堂归纳小结1.由y=sinx的图象,通过变换可得到函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象,其变化途径有两条:(1)y=sinx――――――→相位变换y=sin(x+φ)―――――→周期变换y=sin(ωx+φ)――――――→振幅变换y=Asin(ωx+φ).(2)y=sinx――――――→周期变换y=sinωx――――――→相位变换y=sinωx+φω=sin(ωx+φ)―――――――→振幅变换y=Asin(ωx+φ).注意:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:(1)是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换,平移|φ|ω个单位,这是很易出错的地方,应特别注意.2.类似地,y=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)的图象也可由y=cosx的图象变换得到.
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.6.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图
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