2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式第五章三角函数考点学习目标核心素养两角和与差的正弦、余弦、正切公式理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程逻辑推理两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题数学运算、逻辑推理第五章三角函数问题导学预习教材P217－P220，并思考以下问题：1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？2．两角和与差的正弦、正切公式是什么？两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式名称公式简记符号条件两角和的余弦cos(α＋β)＝_______________________C(α＋β)α，β∈R两角和的正弦sin(α＋β)＝_______________________S(α＋β)两角差的正弦sin(α－β)＝_______________________S(α－β)cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝________________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝________________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ■名师点拨公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)←―→以－β代βC(α－β)←―→诱导公式S(α－β)←―→以－β代βS(α＋β)(2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．(3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(5)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()√√×√×已知tanα＝2，则tanα＋π4＝()A．－3B．3C．－4D．4答案：Acos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A．12B．－12C．0D．1答案：C设α∈0，π2，若sinα＝35，则2sinα＋π4等于()A.725B.25C.75D.43答案：Asin75°＝________，tanπ12＝________．答案：6＋242－3求值：(1)cos105°；(2)tan75°；(3)sin50°－sin20°cos30°cos20°.给角求值【解】(1)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3.(3)原式＝sin（20°＋30°）－sin20°cos30°cos20°＝sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°cos20°＝cos20°sin30°cos20°＝sin30°＝12.解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．求下列各式的值．(1)sin105°；(2)tan165°；(3)sin47°－sin17°cos30°sin73°.解：(1)sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°·sin60°＝22×12＋22×32＝6＋24.(2)tan165°＝tan(180°－15°)＝－tan15°＝－tan(45°－30°)＝－tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝－1－331＋33＝3－2.(3)sin47°－sin17°cos30°sin73°＝sin（17°＋30°）－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α与cos2β的值．给值求值【解】因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2.所以sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2（α＋β）＝－1－－352＝－45.所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－－35×513＝－3365，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋－35×513＝－6365.(变问法)若本例的条件不变，求sin2α的值．解：由本例解析可知sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×－45＋1213×－35＝－5665.给值(式)求值的解题策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．1．已知cosα＝－45，且α∈π2，π，则tanπ4－α＝()A．－17B．－7C．17D．7解析：选D.由cosα＝－45，且α∈π2，π，得sinα＝35，所以tanα＝sinαcosα＝－34，所以tanπ4－α＝tanπ4－tanα1＋tanπ4tanα＝1－－341－34＝7.故选D.2．已知α∈π2，π，sinα＋π4＝35，则sinα＝()A．210B．7210C．－210或7210D．－7210解析：选B.由已知，可得3π4α＋π45π4，cosα＋π4＝－45，所以sinα＝sinα＋π4－π4＝sinα＋π4cosπ4－cosα＋π4·sinπ4＝22×35＋45＝7210.故选B.3．已知cosα＝55，cosβ＝35，其中α，β都是锐角．求：(1)sin(α－β)的值；(2)tan(α＋β)的值．解：因为cosα＝55，cosβ＝35且α、β都是锐角．所以sinα＝1－cos2α＝255，sinβ＝1－cos2β＝45.(1)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝35×255－45×55＝2525.(2)tanα＝sinαcosα＝2，tanβ＝sinβcosβ＝43.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2.已知tanα＝2，tanβ＝－13，其中0＜α＜π2，π2＜β＜π.(1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．给值求角(值)【解】(1)因为tanα＝2，tanβ＝－13，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2＋131－23＝7.(2)因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2－131＋23＝1，又因为0＜α＜π2，π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，在π2与3π2之间，只有5π4的正切值等于1.所以α＋β＝5π4.解决给值求角(值)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．若sinπ4－α＝－12，sinπ4＋β＝32，其中π4απ2，π4βπ2，求α＋β的值．解：因为π4απ2，π4βπ2，所以－π4π4－α0，π2π4＋β34π.所以cosπ4－α＝1－sin2π4－α＝32，cosπ4＋β＝－1－sin2π4＋β＝－12，所以cos(α＋β)＝cosπ4＋β－π4－α＝cosπ4＋β·cosπ4－α＋sinπ4＋βsinπ4－α＝－12×32＋32×－12＝－32.又因为π2α＋βπ，所以α＋β＝56π.1．(2019·北京清华附中月考)若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－β)等于()A．3B．－3C．13D．－13解析：选C.tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3－431＋3×43＝13.2．函数y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为()A．2B．－2C．－2D．3解析：选C.因为y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4＝sin2xcosπ4＋cos2x·sinπ4＋sin2xcosπ4－cos2xsinπ4＝2sin2x，所以所求函数的最小值为－2.3．若cosα＝－513，α∈π2，π，则cosα＋π6＝________．解析：因为cosα＝－513，α∈π2，π，所以sinα＝1－cos2α＝1－－5132＝1213，所以cosα＋π6＝cosαcosπ6－sinα·sinπ6＝－513×32－1213×12＝－53＋1226.答案：－53＋12264．已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π3＝13，求tanα＋π3.解：tanα＋π3＝tan（α＋β）－β－π3＝tan（α＋β）－tanβ－π31＋tan（α＋β）tanβ－π3＝35－131＋35×13＝29.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放