2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

5．5三角恒等变换第一课时两角差的余弦公式(一)教材梳理填空两角差的余弦公式cos(α－β)＝简记符号C(α－β)使用条件α，β都是角cosαcosβ＋sinαsinβ任意(二)基本知能小试1．判断正误(1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.()(2)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cosα－cosβ.()(3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.()答案：(1)√(2)×(3)×2．cosπ12的值为()A.6＋22B.6－24C.6＋24D.3解析：cosπ12＝cosπ3－π4＝cosπ3cosπ4＋sinπ3sinπ4＝12×22＋32×22＝6＋24.答案：C3．cos72°cos12°＋sin72°sin12°＝()A．－12B．12C．－32D．32解析：cos72°cos12°＋sin72°sin12°＝cos(72°－12°)＝cos60°＝12.答案：B4．22(cos75°＋sin75°)＝________.解析：原式＝cos45°cos75°＋sin45°sin75°＝cos(75°－45°)＝cos30°＝32.答案：32题型一给角求值[学透用活]关于两角差的余弦公式(1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．(2)公式中的角α，β公式中的角α，β不仅可以是角，而且可以是任意的整体，可以根据题目需要进行替换、变形代入，展开式仍然成立．(3)公式的灵活应用首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如cosα＝cos[(α＋β)－β]．[典例1]化简求值：(1)cos75°；(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°；(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.[解](1)cos75°＝cos(120°－45°)＝cos120°cos45°＋sin120°sin45°＝－12×22＋32×22＝6－24.(2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30°＝32.(3)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.[方法技巧]利用公式C(α－β)求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[对点练清]1．cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6的值是()A．0B．12C．22D．32解析：cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝cos5π12cosπ6＋sin5π12sinπ6＝cos5π12－π6＝cosπ4＝22.答案：C2．计算下列各式的值：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°；(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．解：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝32.(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.题型二给值求值问题[学透用活][典例2]已知α，β∈0，π2，且sinα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．[解]因为α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，sin(α＋β)＞0，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝6365，cosα＝1－sin2α＝35，所以cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×35＋6365×45＝204325.[方法技巧]给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[对点练清]1．[直接求值]已知sinα＝1517，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为________．解析：∵sinα＝1517，α∈π2，π，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－15172＝－817，∴cosπ4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×－817＋22×1517＝7234.答案：72342．[变角求值]已知sinα＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，求cosα的值．解：∵sinα＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，∴π2＜α＋π4＜π.∴cosα＋π4＝－1－452＝－35.∴cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－35×22＋45×22＝210.3．[变式求值]已知2cosα－π4＝15，求sinαcosα的值．解：因为2cosα－π4＝2cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝cosα＋sinα＝15，所以(cosα＋sinα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα＝125，所以sinαcosα＝－1225.题型三给值求角[学透用活][典例3]已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，求角β的大小．[解]因为sin(π－α)＝437，所以sinα＝437.因为0＜α＜π2，所以cosα＝1－sin2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为0＜β＜π2，所以β＝π3.[方法技巧]已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．[对点练清]若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，且α，β均为锐角，α＜β，求α＋β的值．解：因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，α＜β.所以－π2＜α－β＜0.又cos(α－β)＝55，所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－255.又因为0＜2α＜π，cos2α＝1010，所以sin2α＝1－cos22α＝31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×－255＝－22.又0＜α＋β＜π，故α＋β＝3π4.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．cos80°cos35°＋sin80°cos55°的值是()A．22B．－22C．12D．－12解析：cos80°cos35°＋sin80°cos55°＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22.答案：A2．已知cosα＋cosβ＝12，sinα＋sinβ＝32，则cos(α－β)＝()A．－12B．－32C．12D．1解析：cosα＋cosβ＝12，sinα＋sinβ＝32，两边平方相加得(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝122＋322＝1，∴2＋2cosαcosβ＋2sinαsinβ＝1,2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝－1，∴cos(α－β)＝－12.答案：A3．已知cosα－π3＝cosα，则tanα＝________.解析：cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝12cosα＋32sinα＝cosα，∴32sinα＝12cosα，∴sinαcosα＝33，即tanα＝33.答案：334．已知α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，则α－β的值为________．解析：∵α，β∈0，π2，∴cosα＝255，sinβ＝31010.∵sinαsinβ，∴α－β∈－π2，0.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22，∴α－β＝－π4.答案：－π4二、创新应用题5．若x∈π2，π，且sinx＝45，求2cosx－2π3＋2cosx的值．解：因为x∈π2，π，sinx＝45，所以cosx＝－35.所以2cosx－2π3＋2cosx＝2cosxcos2π3＋sinxsin2π3＋2cosx＝2－12cosx＋32sinx＋2cosx＝3sinx＋cosx＝435－35＝43－35.