2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3 诱导公式 第一课时 诱导公式二、三、

5．3诱导公式(一)教材梳理填空(1)诱导公式二①角π＋α与角α的终边关于对称．如图所示．②公式：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝.原点－sinα－cosαtanα(2)诱导公式三①角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．②公式：sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝.x－sinαcosα－tanα(3)诱导公式四①角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．②公式：sin(π－α)＝，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝.ysinα－cosα－tanα(二)基本知能小试1．判断正误(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．()(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．()(3)公式tan(α－π)＝tanα中，α＝π2不成立．()答案：(1)√(2)√(3)√2．sin585°的值为()A．－22B．22C．－32D．32解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.答案：A3．已知tanα＝4，则tan(π－α)＝________.解析：tan(π－α)＝－tanα＝－4.答案：－44．化简sin16π3·cos－31π6＝________.解析：sin16π3·cos－31π6＝sin4π＋4π3cos31π6＝sin4π3cos4π＋7π6＝sinπ＋π3cosπ＋π6＝－sinπ3－cosπ6＝－32×－32＝34.答案：34题型一给角求值[学透用活][典例1]求下列三角函数值．(1)tan34π＋cos(－1650°)＋sin116π；[解]原式＝tanπ－π4＋cos1650°＋sin2π－π6＝－tanπ4＋cos(4×360°＋210°)－sinπ6＝－1＋cos210°－12＝－1＋cos(180°＋30°)－12＝－32－cos30°＝－32－32.(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(3)cosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π.[解](2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝－2.(3)原式＝cosπ5＋cos25π＋cosπ－25π＋cosπ－π5＝cosπ5＋cos25π－cos25π－cosπ5＝0.[方法技巧]利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．[对点练清]1．sin210°等于()A．12B．－12C．－32D．32解析：sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.答案：B2．(2018·重庆一中检测)tan5π3＝()A．－3B．3C．－33D．33解析：tan5π3＝tan2π－π3＝－tanπ3＝－3，故选A.答案：A3．求值：cos(－120°)·sin(－150°)＋tan855°.解：原式＝cos120°·(－sin150°)＋tan855°＝－cos(180°－60°)·sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝cos60°·sin30°＋tan135°＝cos60°·sin30°＋tan(180°－45°)＝cos60°·sin30°－tan45°＝12×12－1＝－34.题型二条件求值问题[学透用活][典例2](1)已知cosπ6－α＝33，求cos5π6＋α的值；(2)已知cosα－75°＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[解](1)cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33.(2)∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－1－－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.[方法技巧]解决条件求值问题的两技巧(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[对点练清]1．[变结论]本例(1)条件不变，求cos5π6＋α－sin2α－π6的值．解：因为cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α＝23，所以cos5π6＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.2．[变条件]若将本例(1)中条件“cosπ6－α＝33”改为“sinα－π6＝33，α∈2π3，7π6”，求cos5π6＋α的值．解：因为α∈2π3，7π6，则α－π6∈π2，π.所以cos5π6＋α＝－cosπ6－α＝－cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－13＝63.3．当θ∈0，π时，若cos5π6－θ＝－35，求tanθ＋π6的值．解：设5π6－θ＝α－π6＜α＜5π6，则θ＝5π6－α，又cosα＝－35，从而π2＜α＜5π6，因此sinα＝45，tanα＝－43，∴tanθ＋π6＝tan5π6－α＋π6＝tan(π－α)＝－tanα＝43.题型三化简求值问题[学透用活]三角函数式化简的思路以及含有kπ±α(k∈Z)形式的处理方法(1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α的三角函数转化．(2)含有kπ±α(k∈Z)形式的化简时需对k分是偶数还是奇数来确定选用的公式．[典例3](1)化简sin540°＋α·cos－αtanα－180°＝________.[解析]sin540°＋α·cos－αtanα－180°＝sin180°＋α·cosαtanα＝－sinα·cosαtanα＝－cos2α.答案：－cos2α(2)设k为整数，化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.[解析]当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sin－αcosπ＋αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1.当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，原式＝sin2mπ＋π－αcos2mπ－αsin[2m＋2π＋α]cos[2m＋1π＋α]＝sinπ－αcos－αsinαcosπ＋α＝sinαcosα－sinαcosα＝－1.综上，原式＝－1.[方法技巧]三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.[对点练清]1．化简1＋2sinπ－3·cosπ＋3的结果是________．解析：1＋2sinπ－3·cosπ＋3＝1＋2sin3·－cos3＝1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|.∵π2＜3＜π，∴sin3＞0，cos3＜0，∴原式＝sin3－cos3.答案：sin3－cos32．若cosα＝23，α是第四象限角，则sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3πcosπ－α－cos－π－αcosα－4π＝________.解析：由已知cosα＝23，α是第四象限角，得sinα＝－53，故sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3πcosπ－α－cos－π－αcosα－4π＝sinα－sinαcosα－cosα＋cos2α＝52.答案：52[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是()A．sinα＝sinβB．sin(α－2π)＝sinβC．cosα＝cosβD．cos(2π－α)＝－cosβ解析：由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cosα＝cosβ.答案：C2．sin315°＋sin(－480°)＋cos(－330°)的值为()A．12B．－12C．－22D．22解析：原式＝sin(360°－45°)＋sin(－360°－120°)＋cos(－360°＋30°)＝－sin45°－sin60°＋cos30°＝－22－32＋32＝－22.故选C.答案：C3．sin4π3cos－25π6＝________.解析：sin4π3·cos－25π6＝sinπ＋π3·cos－4π－π6＝－sinπ3·cosπ6＝－32×32＝－34.答案：－344．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是________．解析：由题知，sinα＝12，所以sin(4π－α)＝－sinα＝－12.答案：－12二、创新应用题5．求值：cosπ7＋cos2π7＋cos3π7＋cos4π7＋cos5π7＋cos6π7.解：原式＝cosπ7＋cos6π7＋cos2π7＋cos5π7＋cos3π7＋cos4π7＝cosπ7＋cosπ－π7＋cos2π7＋cosπ－2π7＋cos3π7＋cosπ－3π7＝cosπ7－cosπ7＋cos2π7－cos2π7＋cos3π7－cos3π7＝0.