2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3 诱导公式 第二课时 诱导公式五、六课

(一)教材梳理填空(1)诱导公式五、六(2)诱导公式五、六可用语言概括①函数值：π2±α的正弦(余弦)值，分别等于α的函数值．②符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.余弦(正弦)(二)基本知能小试1．判断正误(1)若α为第二象限角，则sinα－π2＝－cosα.()(2)sin3π2－α＝cosα.()(3)cos(270°＋100°)＝sin100°.()答案：(1)√(2)×(3)×2．若cos(α＋π)＝－23，则sin－α－3π2＝()A．23B．－23C．53D．－53解析：由条件知，cosα＝23，所以sin－α－3π2＝－sin3π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝23.故选A.答案：A3．sin95°＋cos175°的值为()A．sin5°B．cos5°C．0D．2sin5°解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：C4．计算：sin211°＋sin279°＝________.解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1.答案：1题型一利用诱导公式化简求值[学透用活][典例1](1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________.[解析]cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.答案：12(2)已知α是第三象限角，且f(α)＝sinπ－αcos2π－αsin－α＋3π2sin－π－αsinπ2－α.①化简f(α)；②若cosα－3π2＝15，求f(α)．[解析]①f(α)＝sinπ－αcos2π－αsin－α＋3π2sin－π－αsinπ2－α＝sinαcosα－cosαsinαcosα＝－cosα.②因为cosα－3π2＝15，所以sinα＝－15，又α是第三象限角，所以cosα＝－1－－152＝－265.所以f(α)＝－cosα＝265.[方法技巧]用诱导公式化简求值的三个角度(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．[对点练清]1．[变条件]本例(1)中条件变为sin4π3－α＝12，问题不变．解：∵4π3－α＋π6＋α＝3π2，∴cosπ6＋α＝cos3π2－4π3－α＝－sin4π3－α＝－12.2．[变结论]本例(1)条件不变，求cos56π－α的值．解：cos5π6－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12.3．已知sinθ－3π2＋cos3π2＋θ＝35，求sin3π2＋θ－cos33π2－θ的值．解：∵sinθ－3π2＋cos3π2＋θ＝－sin3π2－θ－cosπ2＋θ＝sinπ2－θ＋sinθ＝cosθ＋sinθ＝35，∴sinθcosθ＝12[(sinθ＋cosθ)2－1]＝12×925－1＝－825.∴sin3π2＋θ－cos33π2－θ＝cos3θ＋cos3π2－θ＝cos3θ＋sin3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝35×1－－825＝99125.题型二利用诱导公式证明恒等式[学透用活][典例2]求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2π＋θ.[证明]右边＝－2sin3π2－θ·－sinθ－11－2sin2θ＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立．[方法技巧]三角恒等式证明的策略(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[对点练清]求证：cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θcos3π2＋θsin3π2＋θ＝－tanθ.证明：左边＝cosθsin－θtan－θcosπ2＋θsinπ2＋θ＝cosθsinθtanθ－sinθcosθ＝－tanθ＝右边，所以原等式成立．题型三诱导公式的综合应用[学透用活][典例3]已知cosα＝－45，且α为第三象限角．(1)求sinα的值；(2)求f(α)＝tanπ－α·sinπ－α·sinπ2－αcosπ＋α的值．[解](1)因为cosα＝－45，且α为第三象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35.(2)f(α)＝－tanα·sinα·cosα－cosα＝tanαsinα＝sinαcosα·sinα＝－35－45×－35＝－920.[方法技巧]诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．[对点练清]1．[变结论]本例条件不变，求f(α)＝sin5π－αcos7π2－αtan－π＋α－tan－19π－αsin－α的值．解：f(α)＝sinπ－αcos3π2－α[－tanπ－α]tanπ＋α－sinα＝sinα·－sinαtanαtanα·－sinα＝sinα＝－35.2．已知f(α)＝sinπ－αcos－αsinπ2＋αcosπ＋αsin－α.(1)化简f(α)；(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝35，求tanA－sinA的值．解：(1)f(α)＝sinαcosαcosα－cosα－sinα＝cosα.(2)因为f(A)＝cosA＝35，又A为△ABC的内角，所以由平方关系，得sinA＝1－cos2A＝45，所以tanA＝sinAcosA＝43，所以tanA－sinA＝43－45＝815.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．若sin5π2＋α＝15，则cosα＝()A．－25B．－15C．15D．25解析：sin5π2＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.答案：C2．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2＋θ－sinπ－θ等于()A．2B．－2C．0D．23解析：sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2＋θ－sinπ－θ＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.答案：B3．化简：sin(π－α)sin(π＋α)－sinπ2－αsinπ2＋α＝________.解析：sin(π－α)sin(π＋α)－sinπ2－αsinπ2＋α＝－sin2α－cos2α＝－1.答案：－14．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值为________．解析：∵π4＋α－α－π4＝π2，∴cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.答案：－13二、创新应用题5．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sinπ－α＋5cos2π－α2sin3π2－α－sin－α的值．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sinα＝－2cosα，且cosα≠0.∴原式＝sinα＋5cosα－2cosα＋sinα＝－2cosα＋5cosα－2cosα－2cosα＝3cosα－4cosα＝－34.