2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.2 奇偶性课件 新人教A版必修

(一)教材梳理填空偶函数奇函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有，且，那么函数f(x)叫做偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有，且，那么函数f(x)叫做奇函数定义域特征关于对称－x∈If(－x)＝f(x)－x∈If(－x)＝－f(x)原点(二)基本知能小试1．判断正误(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．()(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列函数是偶函数的是()A．y＝xB．y＝3x2C．y＝x－1D．y＝|x|(x∈[0,1])解析：选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数．答案：B3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于()A．－1B．0C．1D．无法确定解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.答案：C4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.解析：∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.答案：3题型一函数奇偶性的判断[学透用活]函数奇偶性的三个关注点(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；(3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．[典例1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3xx2＋3；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1.[解](1)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝3－x－x2＋3＝－3xx2＋3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．[方法技巧]判断函数奇偶性的方法①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒]分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．[对点练清]1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝1x2；④f(x)＝x＋1x；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．解析：对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝1－x2＝1x2＝f(x)，则为偶函数；对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．答案：②③2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3，x＜0，0，x＝0，－x2＋2x－3，x＞0，试判断函数f(x)的奇偶性．解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．∴f(x)是R上的奇函数．题型二奇、偶函数的图象[学透用活](1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2)函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性，因而当问题涉及奇函数或偶函数时，不妨利用图象的对称性来解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律等．(3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．[典例2]已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)＜0的x的取值集合．[解](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．[方法技巧]1．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性；(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．[对点练清]1．[变结论]本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？解：结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0)．2．[变条件]若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：(1)由题意作出函数图象如图所示．(2)据图可知，单调增区间为(－1,1)．(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2，＋∞)．3．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f(3)f(1)．题型三利用函数的奇偶性求解析式[学透用活][典例3]若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．[解]当x0时，－x0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即当x0时，f(x)＝－x2－2x－3.故f(x)＝x2－2x＋3，x0，0，x＝0，－x2－2x－3，x0.[方法技巧]利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．[对点练清]1．[变设问]本例条件不变，求f(－2)的值．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.2．[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x0时，f(x)的解析式．解：当x0时，－x0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，即当x0时，f(x)＝x2＋2x＋3.3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型四利用函数奇偶性求参数值[学透用活][典例4](1)已知y＝f(x)是奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．(2)若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.[解析](1)因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.(2)因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0.解得a＝13.所以f(x)＝13x2＋(b－1)x＋1＋b.又因为f(－x)＝f(x)，所以13x2－(b－1)x＋1＋b＝13x2＋(b－1)x＋1＋b.由对应项系数相等得－(b－1)＝b－1.所以b＝1.所以a＋b＝13＋1＝43.[答案](1)5(2)43[方法技巧]利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．[对点练清]1．函数f(x)＝x2＋ax是偶函数，则a＝________.解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即x2－ax＝x2＋ax.由对应项系数相等，得a＝0.答案：02．已知函数f(x)＝x2＋x，x≤0，ax2＋bx，x＞0为奇函数，则a－b＝________.解析：由题意知f2＝－f－2，f1＝－f－1，则4a＋2b＝－2，a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1.当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a－b＝－2.答案：－2[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．答案：B2．f(x)＝x3＋1x的图象关于()A．原点对称B．y轴对称C．y＝x对称D．y＝－x对称解析：由于f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－x3＋1x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称．答案：A3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：因为f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数，所以a－4＝0，a＝4.答案：44．若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________；g(x)＝________.解析：f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.答案：x2－2x二、创新应用题5．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若a＝0时，求f(x)的最小值．解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，此时f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．∴当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．(2)当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1为偶函数，∴x≥0时，f(x)＝x2