2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.1.2 函数的表示法 第一课时 函

第一课时函数的表示法知识点三种常用的函数表示法(一)教材梳理填空(1)解析法：用表示两个变量之间的对应关系．(2)列表法：列出来表示两个变量之间的对应关系．(3)图象法：用表示两个变量之间的对应关系．数学表达式表格图象(二)基本知能小试1．判断正误(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1≤x＜222＜x≤4f(x)123A．1B．2C．3D．不存在解析：∵当2＜x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.答案：C3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．解析：由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．答案：[－2,3]4．若f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．解析：由函数的图象可知，f(x)的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．答案：[－4,3]5．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是________．解析：法一：令2x＋1＝t，则x＝t－12.所以f(t)＝6×t－12＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2.答案：f(x)＝3x＋2题型一函数表示法[学透用活]三种表示方法的优缺点[典例1]已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋bx.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象．[解](1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组2a＋b2＝100，14a＋b14＝28.解得a＝1，b＝196.所以t＝x＋196x.又因为x≤20，x为正整数，所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}．(2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x12345678910t19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920t28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示．[方法技巧]函数的三种表示法的选择和应用的注意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．[对点练清]1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.答案：D2．已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示.x1234y－2－3－4－5题型二函数图象的作法及应用[学透用活][典例2]作出下列函数的图象，并指出其值域．(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；(2)y＝2x(－2≤x≤1，且x≠0)．[解](1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示．由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为－14，2.(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示．由图可知y＝2x(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．[方法技巧]描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．[提醒]函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．[对点练清]1．已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．答案：[－3,3][－2,2]2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.题型三函数解析式的求法[学透用活][典例3]求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；[解]法一：换元法设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：配凑法∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，求f(x)．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2，整理，得2ax＋(a＋b)＝2x＋2.由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等，∴2a＝2，a＋b＝2，解得a＝1，b＝1，∴f(x)＝x2＋x＋1.[方法技巧]求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[对点练清]1．[配凑法或换元法]已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．解：法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.2．[待定系数法]已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，即a2＝4，ab＋b＝8，解得a＝2，b＝83或a＝－2，b＝－8.∴f(x)＝2x＋83或f(x)＝－2x－8.3．[解方程组法]已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝13x2－2x.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：考试次数x12345成绩y/分90102106105106则下列说法正确的是()A．成绩y不是考试次数x的函数B．成绩y是考试次数x的函数C．考试次数x是成绩y的函数D．成绩y不一定是考试次数x的函数解析：题表中列出了两个变量：考试次数和成绩之间的对应关系，根据函数的定义可得B正确．答案：B2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图中的s-t函数图象与故事情节相吻合的是()解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B.答案：B3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)解析：由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：C4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．解析：据题图知f(3)＝1，∴f(f(3))＝f(1)＝2.答案：2二、创新应用题5．(1)已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)；(2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)．解：(1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.(2)法一(配凑法)：因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.法二(换元法)：令t＝x－1，则x＝t＋1，可得f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.