2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1.1.1 函数的概念课件 新人教B版必修第

最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点一函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B(集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写．)中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A,B为非空实数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．[基础自测]1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．函数f(x)＝x－1x－2的定义域为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．[1,2)D．[1,2)∪(2，＋∞)解析：使函数f(x)＝x－1x－2有意义，则x－1≥0，x－2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．若函数f(x)＝x＋6x－1，求f(4)＝________.解析：f(4)＝4＋64－1＝2＋2＝4.答案：4题型一函数的定义[经典例题]例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意]A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列对应是否是函数？①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B(2)①是函数②不是函数1①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意.(2)关键是否符合函数定义．题型二求函数的定义域[教材P83例1]例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x＋1；(2)g(x)＝1x＋1x＋2.【解析】(1)因为函数有意义当且仅当x＋1≥0，x＋1≠0，解得x－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当x≠0，x＋2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞).教材反思求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2－3x＋2；(2)f(x)＝x＋10|x|－x；(3)f(x)＝2x＋3－12－x＋1x.解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则x＋1≠0，|x|－x0，解得x0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．(3)要使函数有意义，则2x＋3≥0，2－x0，x≠0，解得－32≤x2，且x≠0.故定义域为－32，0∪(0,2)．(1)分母不为0(2)偶次根式被开方数≥0x＋10底数不为0(3)偶次根式被开方数≥0分母不为0题型三同一函数[教材P66例3]例3下面各组函数中为相同函数的是()A．f(x)＝x－12，g(x)＝x－1B．f(x)＝x2－1，g(x)＝x＋1·x－1C．f(x)＝x，g(x)＝x2xD．f(x)＝x0与g(x)＝1x0【解析】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)＝|x－1|与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.【答案】D方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3试判断下列函数是否为同一函数．(1)f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；(2)f(x)＝xx，g(x)＝xx；(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝x2.解析：序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f(x)＝1x，g(x)＝x(3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型四求函数的值域[经典例题]例4求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1,3]．(2)y＝2xx＋1.(3)y＝x2－4x＋5，x∈{1,2,3}．(4)y＝x2－4x＋5.【解析】(1)因为－1x≤3，所以－12≤－4x4，所以－9≤3－4x7，所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)．(2)因为y＝2xx＋1＝2x＋1－2x＋1＝2－2x＋1≠2，所以函数y＝2xx＋1的值域为{y|y∈R且y≠2}．(3)函数的定义域为{1,2,3}，当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1,2}，(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，所以这个函数的值域为[1，＋∞)．状元随笔(1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x＋1；(3)y＝1－x21＋x2；(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．解析：(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)因为x≥0，所以x＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，所以函数的定义域为R，因为x2＋1≥1，所以021＋x2≤2.所以y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12,3]．(3)先分离再求值域(4)配方法求值域