2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调

课后课时精练2A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是()A.－12，＋∞B．[－1，＋∞)C.－∞，－12D．(－∞，＋∞)答案C答案3解析∵y＝x2＋x＋1＝x＋122＋34，其图像的对称轴为直线x＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－12时，函数单调递减．解析42．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4答案A解析B项在R上为减函数；C项在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D项在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；A项在(0，＋∞)上为增函数．故选A.答案解析53．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案C解析因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，所以2m－m＋9，即m3.答案解析64．若函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的递增区间是()A．(3,8)B．(－7，－2)C．(－2，－3)D．(0,5)答案B解析∵函数f(x)的增区间为(－2,3)，则f(x＋5)的递增区间满足－2x＋53，即－7x－2.故选B.答案解析75．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．0答案C解析当a＝0时，不满足题意；当a0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝±2.答案解析8二、填空题6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f(－4)f(6)，则函数f(x)的最小值是______，最大值是______．答案f(－2)f(6)答案9解析函数y＝f(x)在[－4,6]上的图像的变化趋势如图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)f(6)，故f(x)max＝f(6)．解析107．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______．答案f(－3)f(－π)解析由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，可知函数f(x)为增函数．又－3－π，所以f(－3)f(－π)．答案解析118．已知函数f(x)＝a－3x＋5，x≤1，2ax，x1是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．答案(0,2]解析依题意得实数a应满足a－30，2a0，a－3＋5≥2a，解得0a≤2.答案解析12三、解答题9．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．解函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1答案13＝x22－x21x22－1＋x21－1＝x2－x1x2＋x1x22－1＋x21－1，∵1≤x1x2，∴x2＋x10，x2－x10,x22－1＋x21－10.∴f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．答案1410．已知函数f(x)＝3－x2，x∈[－1，2]，x－3，x∈2，5]，(1)画出函数f(x)的图像；(2)写出函数f(x)的单调递增区间及最大值和最小值．15解(1)函数f(x)的图像如下图．(2)函数f(x)在[－1,0]和[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．由图像知f(x)max＝f(0)＝3，f(x)min＝f(2)＝－1.答案16B级：“四能”提升训练1．设函数f(x)＝ax－1x＋1，其中a∈R.(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性并用定义给予证明；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝1－2x＋1在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增．设x1，x2是区间(－1，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，答案17则f(x1)－f(x2)＝2x1－x2x1＋1x2＋1，因为x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2，所以x1－x20，x1＋10，x2＋10，所以2x1－x2x1＋1x2＋10，所以f(x1)－f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增；答案18同理，当x1，x2∈(－∞，－1)且x1x2时，有x1－x20，x1＋10，x2＋10.所以f(x1)－f(x2)0，所以f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增．(2)设0x1x2，则x1－x20，x1＋10，x2＋10.答案19若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)0.而f(x1)－f(x2)＝a＋1x1－x2x1＋1x2＋1，所以当a＋10，即a－1时，有f(x1)－f(x2)0.所以f(x1)f(x2)．所以当a－1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数．即所求实数a的取值范围是(－∞，－1)．答案202．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：函数f(x)是R上的单调递减函数；(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最小值．解(1)证明：设x1和x2是任意的两个实数，且x1x2，则x2－x10，因为x0时，f(x)0，答案21所以f(x2－x1)0.又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)0，所以f(x2)f(x1)．所以函数f(x)是R上的单调递减函数．答案22(2)由(1)可知函数f(x)在R上是减函数，所以函数f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×－23＝－2.所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.答案本课结束