2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法课件 新

最新课程标准：从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1，或xx2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a0时，解形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．对于a0的一元二次不等式，可以直接采取类似a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当pq时，若(x－p)(x－q)0，则xq或xp；若(x－p)(x－q)0，则pxq.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是()A．a2x2＋2≥0B.1x23C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋10解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)C．(－∞，－1]D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为()A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x20，得x2＋6x－70，即(x＋7)(x－1)0，所以－7x1，故选B.答案：B4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1P66例3、例4]例1(1)求不等式x2－x－20的解集．(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．(3)求不等式－x2＋2x－10的解集．【解析】(1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)0，因此所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，两边开平方得|x－3|≤10，从而可知－10≤x－3≤10，因此3－10≤x≤3＋10，所以不等式的解集为[3－10，3＋10]．(3)原不等式可化为x2－2x＋10，又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为(x－1)20.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞).教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c0(a0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1解下列不等式：(1)x2－7x＋120；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋10；(4)－2x2＋3x－20.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图像开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图像开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图像开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x1，x2――→函数图像结果题型二三个“二次”之间的关系[经典例题]例2已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a0的解集．【解析】方法一由不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a0知c0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a0，即x2＋bcx＋ac0，即x2－56x＋160，解得x13或x12，所以不等式cx2＋bx＋a0的解集为－∞，13∪12，＋∞.方法二由不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a0，即6ax2－5ax＋a0⇒6ax－13x－120，故原不等式的解集为－∞，13∪12，＋∞.状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a0及关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2已知一元二次不等式x2＋px＋q0的解集为x－12x13，求不等式qx2＋px＋10的解集．解析：因为x2＋px＋q0的解集为x－12x13，所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得13－12＝－p，13×－12＝q，解得p＝16，q＝－16.所以不等式qx2＋px＋10即为－16x2＋16x＋10，整理得x2－x－60，解得－2x3.即不等式qx2＋px＋10的解集为{x|－2x3}．状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p，q的方程组→确定p，q的值→求不等式qx2＋px＋10的解集题型三含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]例3解关于x的不等式2x2＋ax＋20.【解析】对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．①当a4或a－4时，Δ0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝14(－a－a2－16)，x2＝14(－a＋a2－16)．∴原不等式的解集为xx14－a－a2－16或x14－a＋a2－16.②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4a4时，Δ0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数.方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；(3)当Δ0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a30.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a0时，有aa2，∴xa或xa2，此时原不等式的解集为{x|xa或xa2}；(2)当0a1时，有aa2，即xa2或xa，此时原不等式的解集为{x|xa2或xa}；(3)当a1时，有a2a，即xa或xa2，此时原不等式的解集为{x|xa或xa2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a0或a1时，原不等式的解集为{x|xa或xa2}；当0a1时，原不等式的解集为{x|xa2或xa}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝－0.5x2＋7x－10.5，0≤x≤7，13.5，x＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】(1)依题意得g(x)＝x＋3，设利润函数为f(x)，则f(x)＝r(x)－g(x)，所以f(x)＝－0.5x2＋6x－13.5，0≤x≤7，10.5－x，x＞7，要使工厂有盈利，则有f(x)0，因为f(x)0⇒0≤x≤7，－0.5x2＋6x－13.5＞0或x＞7，10.5－x＞0⇒0≤x≤7，x2－12x＋27＜0或x＞7，10.5－x＞0⇒0≤x≤7，3＜x＜9或x7，x10.5.则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．(2)当3＜x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5，而当x＞7时，f(x)＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)0⇒回答实际问题．(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．(3)求：解不等式．(4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋