2019-2020学年新教材高中数学 第8章 立体几何初步 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

课时作业30空间点、直线、平面之间的位置关系知识对点练知识点一空间中直线与直线的位置关系1.下列说法中正确的个数是()①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．A．0B．1C．2D．3答案B答案解析对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确；对于④，如图所示，直线AB，AC分别与两异面直线a，b都相交，但AB，AC却是相交直线，故④不正确．解析2．设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2()A．是异面直线B．是相交直线C．是平行直线D．可能是相交，或平行，或异面直线解析构造长方体，令l3为一侧棱，可知选D.解析答案D答案知识点二空间中直线与平面的位置关系3.直线l与平面α不平行，则()A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对答案C答案解析直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.解析4．若一条直线上有两点在已知平面外，则下列结论正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内答案B答案解析一条直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A，C错误；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故D错误.解析知识点三空间中平面与平面的位置关系5.已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则()A．过P，Q的平面一定与α，β都相交B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行答案C答案解析当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C.解析6．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案D答案解析三个平面两两相交，有三条交线，三条交线两两平行或交于一点．如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的表面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点.解析知识点四空间中线、面位置关系的应用7．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ.∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.答案课时综合练一、选择题1．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．可能平行、可能相交、可能异面解析可以利用长方体的棱所在的直线找到平行、相交、异面的情况．解析答案D答案2．a，b是两条异面直线，A是不在直线a，b上的点，则下列结论成立的是()A．过A有且只有一个平面同时平行于直线a，bB．过A至少有一个平面同时平行于直线a，bC．过A有无数个平面同时平行于直线a，bD．过A且同时平行于直线a，b的平面可能不存在答案D答案解析如图所示，作a1∥a，a1与b相交构成平面α，如果点A在平面α内，则此时过点A且平行于异面直线a，b的平面不存在．故选D.解析3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能答案D答案解析如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面ABCD，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，连接MN，则MN∥平面ABCD，有A1B1与MN异面．故选D.解析4．下列说法中，正确的个数是()①若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；③若直线a在平面α内，直线b不在平面α内，则a与b没有公共点；④若直线a与平面α交于点A，则a⊄α.A．0B．1C．2D．3答案C答案解析①不正确，因为l∥α，所以直线l与平面α没有公共点，则l与平面α内的直线可能平行，也可能异面；②正确；③不正确，a与b也可能相交，有一个公共点；④正确，直线与平面只有一个交点，则直线与平面相交，直线不在平面内．解析5．平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B答案解析如图所示，a∥b，显然a，c是异面直线，①错误；a与β内所有与b平行的直线平行，故②正确；若c⊥b，则c⊥a，故③不正确；∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，④正确．解析二、填空题6．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．答案8答案解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．解析7．已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α，β的位置关系是________．解析借助长方体模型即得．解析答案平行或相交答案8．下列命题中正确的是________(填序号)．①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．答案③答案解析若直线l与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线，故①不正确；若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与该平面平行或相交或在平面内，故②不正确；若直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点，所以l与平面α内的直线也无公共点，即平行或异面，故③正确．解析三、解答题9．判断正误，若为假命题，画出反例图形．(1)若两个平面有无数个公共点，则两个平面重合；(2)若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(3)若两个平面相交，则分别在两个平面内的两条直线也相交；(4)若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线也平行．解(1)假命题，如图①.(2)假命题，如图②.(3)假命题，如图③.(4)假命题，如图④.答案10．已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高，DF是△BCD中BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．证明假设AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE，DF的平面为β，若E，F重合，则E为BC的中点，∴AB＝AC，与AB≠AC相矛盾．若E，F不重合，∵B∈EF，C∈EF，而EF⊂β，∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四点共面，这与题设ABCD为空间四边形矛盾，综上可知，假设不成立，∴AE与DF为异面直线．答案本课结束