2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.1 正

第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像2学习目标核心素养1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像．(难点)1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.3自主预习探新知41.正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个，使得对定义域内的x，都满足_____________，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．②最小正周期：对于一个_____函数f(x)，如果在它的___________存在一个，那么这个就称为f(x)的最小正周期．非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)周期所有周期中最小的正数最小的正数5(2)正弦函数的性质函数y＝sinx定义域R值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期：____2π6单调性在__________________(k∈Z)上递增；在_________________(k∈Z)上递减最值x＝_______________时，y最大值＝1；x＝_______________时，y最小值＝－12kπ－π2，2kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋32π2kπ＋π2，(k∈Z)2kπ－π2(k∈Z)72.正弦函数的图像(1)利用正弦线可以作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，要想得到y＝sinx(x∈R)的图像，只需将y＝sinx，x∈[0,2π]的图像_________________________即可，此时的图像叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y＝sinx，x∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，，(π，0)，和和(2π，0)．沿x轴平移±2π，±4π，…32π，－1π2，18思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示]由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)…，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图像与x轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋π2，(k∈Z)，是过图像的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．91.函数y＝xsinx是()A．奇函数，不是偶函数B．偶函数，不是奇函数C．奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数B[f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，∴y＝xsinx为偶函数，不是奇函数．]102.下列图像中，符合y＝－sinx在[0,2π]上的图像的是()D[把y＝sinx，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sinx，x∈[0,2π]上的图像，故选D．]113.点Mπ2，－m在函数y＝sinx的图像上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2C[由题意－m＝sinπ2，∴－m＝1，∴m＝－1.]12合作探究提素养13三角函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin－12x＋π2；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)．14[解](1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，∵f(－x)＝cos－12x＝cos12x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．15(2)由1－sinx0，1＋sinx0，得－1sinx1.解得定义域为x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．16判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看fx与f－x的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.171.判断函数f(x)＝cos3π2＋2x＋x2sinx的奇偶性．[解]原式＝sin2x＋x2sinx，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.18正弦函数的单调性及应用【例2】比较下列各组数的大小．(1)sin194°和cos160°；(2)sin74和cos53.[思路探究]先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．19[解](1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°14°70°90°，∴sin14°sin70°.从而－sin14°－sin70°，即sin194°cos160°.20(2)∵cos53＝sinπ2＋53，又π274ππ2＋5332π，y＝sinx在π2，32π上是减函数，∴sin74sinπ2＋53＝cos53，即sin74cos53.21比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.222.比较大小：(1)sin250°与sin260°；(2)sin－235π与sin－174π.23[解](1)sin250°＝sin(180°＋70°)＝－sin70°，sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sinx，x∈0，π2是增函数，所以sin70°＜sin80°，所以－sin70°＞－sin80°，即sin250°＞sin260°.24(2)sin－23π5＝－sin23π5＝－sin3π5＝－sinπ－2π5＝－sin2π5.sin－17π4＝－sin17π4＝－sinπ4.因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y＝sinx，x∈0，π2是增函数，所以sinπ4＜sin2π5，－sinπ4－sin2π5，即sin－23π5＜sin－17π4.25正弦函数的值域与最值问题【例3】求下列函数的值域．(1)y＝3＋2sin2x－π3；(2)y＝1－2sin2x＋sinx.[思路探究](1)用|sinα|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．(2)用t代替sinx，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围．26[解](1)∵－1≤sin2x－π3≤1，∴－2≤2sin2x－π3≤2，∴1≤2sin2x－π3＋3≤5，∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin2x－π3的值域为[1,5]．27(2)y＝1－2sin2x＋sinx，令sinx＝t，则－1≤t≤1，y＝－2t2＋t＋1＝－2t－142＋98.由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤98，即函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域为－2，98.281.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．2.转化成同一函数，要注意不要一见sinx就得出－1≤sinx≤1，要根据x的范围确定．293.设|x|≤π4，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值．[解]f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－sinx－122＋54.∵|x|≤π4，∴－22≤sinx≤22，∴当sinx＝－22时取最小值为1－22.30正弦函数的图像【例4】用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．①y1；②y1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点，求a的取值范围；(3)求函数y＝1－2sinx的最大值，最小值及相应的自变量的值．31[解]按五个关键点列表：x－π－π20π2πsinx0－1010y＝1－2sinx131－1132描点连线得：33(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y1，在y＝1下方部分y1，∴当x∈(－π，0)时，y1，当x∈(0，π)时，y1.(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点时，1a3或－1a1，∴a的取值范围是{a|1a3或－1a1}．(3)由图像可知y最大值为3，此时x＝－π2；y最小值为－1，此时x＝π2.341.解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取－π，－π2，0，π2，π，然后相应求出y值，作出图像．2.“五点法”作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．3.仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．354．用“五点法”画出函数y＝12＋sinx，x∈[0,2π]上的图像．[解]取值列表如下：x0π2π3π22πsinx010－10y＝12＋sinx123212－121236描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)371.正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.2.正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称．(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．383.正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．394．正弦函数最值的释疑(1)明确正弦函数的有界性，即|sinx|≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．5．“五点法”画正弦函数图像“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．40当堂达标固双基411.以下对于正弦函数y＝sinx的图像描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图像形状相同，只是位置不同B．关于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点B[观察y＝sinx图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．]422.函数y＝－sinx，x∈－π2，3π2的简图是()43D[可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin0＝0，排除A，C；当x＝3π2时，y＝－sin3π2＝1，排除B．]443.若sinx＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．[－1,0][因为－1≤sinx≤1，sinx＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.]454．用五点法画出函数y＝－2sinx在区间[0,2π]上的简图．[解]列表：x0π2π3π22πsinx010－10y＝－2sinx0－202046描点、连线得y＝－2sinx的图像如图：Thankyouforwatching!