2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 课时作业6

课时作业6向量的数量积(2)知识对点练知识点一夹角问题1.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－332，则a与b的夹角为()A．30°B．45°C．135°D．150°答案A答案解析∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－332，∴a·b＝32.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝32.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.解析2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C答案3．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．解析设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝12，所以θ＝π3.解析答案π3答案知识点二模及长度问题4.已知a·b＝－122，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．33解析a·b＝|a||b|cos135°＝－122，又|a|＝4，解得|b|＝6.解析答案C答案5．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1B.7C．4＋3D．27解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.故选B.解析答案B答案6．已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夹角为π4，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．15B.15C．14D．16答案A答案解析以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，分别为a＋b，a－b，从而|a＋b|＝|6p－q|＝6p－q2＝36p2＋q2－12p·q＝36×222＋32－12×22×3×cosπ4＝15.|a－b|＝|4p＋5q|＝16p2＋25q2＋40p·q＝16×222＋25×32＋40×22×3×cosπ4＝593.故选A.解析7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|.解由已知得a·b＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝23.答案(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝419.答案8．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝3|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解假设存在满足条件的θ.∵|a＋b|＝3|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴cosθ＞0，Δ＝4|b|cosθ2－4|b|2≥0，解得cosθ∈12，1.答案又∵θ∈[0，π]，∴θ∈0，π3.故当θ∈0，π3时，|a＋b|＝3|a－b|成立.答案知识点三垂直问题9.若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝()A．－6B．6C．3D．－3答案B答案解析由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.解析10．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？解(1)由向量c与d垂直，得c·d＝0，而c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝2914，即当m＝2914时，c与d垂直．答案(2)由c与d共线得，存在实数λ，使得c＝λd，∴3a＋5b＝λ(ma－3b)，即3a＋5b＝λma－3λb，又∵a与b不共线，∴λm＝3，－3λ＝5，解得λ＝－53，m＝－95，即当m＝－95时，c与d共线．答案课时综合练一、选择题1．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C答案解析由c⊥a，得a·c＝0，又c＝a＋b，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－a2|a||b|＝－12，因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°，即向量a与b的夹角为120°.故选C.解析2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于()A．－43B.43C．－49D.49答案C答案解析由题意可知，|AP→|＝23AM→＝23，|PM→|＝13AM→＝13.根据向量的加法，知PB→＋PC→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)＝2|PA→|·|PM→|cos180°＝2×23×13×(－1)＝－49.解析3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()A．1B.12C.34D.32答案D答案解析∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°.又|a－c|＝a2－2a·c＋c2＝1－|c|＋|c|2＝|c|－122＋34，故|a－c|min＝32.解析4．点O是△ABC所在平面内一点，且满足OA·OB→＝OB→·OC→＝OA→·OC→，则点O是△ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外心答案B答案解析因为OA→·OB→＝OB→·OC→，所以OB→·(OA→－OC→)＝0，即OB→·CA→＝0，则OB→⊥CA→.同理OA→⊥BC→，OC→⊥AB→.所以O是△ABC的垂心．解析5．已知同一平面内的向量a，b，c，两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的长度为()A．6B.3C．6或3D．6或6答案C答案解析①当向量a，b，c共线且同向时，它们两两所成的角均为0°，所以|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6；②当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c都为非零向量．设a，b，c两两所成的角均为θ，则3θ＝360°，即θ＝120°，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1.同理b·c＝－3，c·a＝－32.又|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，故|a＋b＋c|＝3.综上所述，向量a＋b＋c的长度为6或3.解析二、填空题6．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝13，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.解析因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.解析答案3答案7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝4，点M满足BM→＝3MA→，则CM→·CB→＝________.解析CM→·CB→＝CA→＋14AB→·CB→＝14AB→·CB→＝14(CB→－CA→)·CB→＝14CB→2＝4.解析答案4答案8．已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________.解析因为OA→⊥AB→，所以OA→·AB→＝0.又因为|OA→|＝3，所以OA→·OB→＝OA→·(OA→＋AB→)＝|OA→|2＋OA→·AB→＝|OA→|2＝32＝9.解析答案9答案三、解答题9．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ.解∵a＋3b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0.①∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝0，答案即7a2－30a·b＋8b2＝0.②①－②，整理得2a·b＝b2.③将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝a·b|a||b|＝|b|22|b|2＝12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.答案10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×－6＝13.答案(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为a·a＋b|a＋b|＝1013＝101313.答案本课结束