2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.1.1 向量的概念 课时25 向量的

课时25向量的概念知识对点练知识点一位移与向量1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D答案解析一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．解析2．下列结论中正确的是()A．对任一向量a，|－a|0总是成立的B．模为0的向量的方向是不确定的C．向量就是有向线段D．任意两个单位向量的方向相同答案B答案解析若向量a为零向量，则|－0|＝0，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，D错误．解析3．一个人从A点出发向西走了5米到C，又向南走了5米到达B点，求此人从A到B的位移．解如下图，位移为向西南方向走了52米．答案知识点二向量的相等与平行4.下列关于向量的说法正确的个数是()①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．A．3B．2C．1D．0答案C答案解析始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．解析5．下列四个命题：①模为0的向量与任意向量平行；②单位向量与任一向量平行；③两个方向相反的向量必是共线向量；④两个非零向量平行，则这两个向量相等．其中为真命题的是________．答案①③答案解析模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，与任意向量平行，故①正确；单位向量的方向不确定，故②不正确；两个方向相反的向量必是共线向量，③正确；两个非零向量平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．故④不正确．解析6．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：(1)向量OA→的起点、终点和长度；(2)与向量OA→共线的向量；(3)与向量OA→相等的向量．解(1)向量OA→的起点为O，终点为A，长度为2.(2)与OA→共线的向量有CB→，FE→，DO→.(3)与OA→相等的向量有CB→，DO→.答案易错点对相等向量的概念把握不准致误7.在▱ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{MN→|M，N∈S}，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．易错分析求解本题时，若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量”，就会误认为T中元素的个数为20.正解S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：AB→，AC→，AD→，AO→；BA→，BC→，BD→，BO→；CA→，CB→，CD→，CO→；DA→，DB→，DC→，DO→；OA→，OB→，OC→，OD→.由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即AB→＝DC→，BA→＝CD→，AD→＝BC→，DA→＝CB→，AO→＝OC→，OA→＝CO→，DO→＝OB→，OD→＝BO→，又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．答案课时综合练一、选择题1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是()A．方向B．大小C．大小和方向D．以上均不对解析由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．解析答案B答案2．下列各命题中，正确命题的个数为()①若|a|＝|b|，则a＝b；②若AB→＝DC→，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.A．4B．3C．2D．1答案D答案解析①|a|＝|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由AB→＝DC→可得|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，由于AB→∥DC→，A，B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行，命题不正确．解析3．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与DF→(DF→除外)共线的向量个数为()A．2B．4C．5D．7答案D答案解析与DF→共线的向量有：AE→，EA→，EC→，CE→，AC→，CA→，FD→.解析4．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误的是()A．a与b为平行向量B．a与b为模相等的向量C．a与b为共线向量D．a与b为相等的向量答案D答案解析根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．解析5．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|PD→||AD→|的值为()A.12B.13C．1D．2解析因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以|PD→||AD→|的值为1.如图．解析答案C答案二、填空题6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.解析答案3π答案7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC→平行且长度为22的向量的个数是________．答案8答案解析找出与AC平行的直线，确定长度为22的线段，共有FH→，HF→，MP→，PM→，AJ→，JA→，KC→，CK→，故共有8个．解析解如图，向量CD→，CE→即为所求向量．答案9．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若|AB→|＝3，求向量EC→的模．解在▱ABCD和▱ABDE中，易知AB→＝DC→，AB→＝ED→，∴ED→＝DC→，∴E，D，C三点共线．∴|EC→|＝|ED→|＋|DC→|＝2|AB→|＝6.答案10．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别找出与AO→，BO→相等的向量；(2)找出与AO→共线的向量；(3)找出与AO→的模相等的向量．解(1)AO→＝BF→，BO→＝AE→.(2)与AO→共线的向量有：BF→，CO→，DE→.(3)与AO→的模相等的向量有：CO→，DO→，BO→，BF→，CF→，AE→，DE→.答案11．如图所示，四边形ABCD中AB→＝DC→，N，M分别是AD，BC上的点，且CN→＝MA→.求证：DN→＝MB→.证明由AB→＝DC→可知，AB∥CD且|AB→|＝|CD→|，故四边形ABCD为平行四边形，∴CB→∥DA→且|CB→|＝|DA→|.又由CN→＝MA→同理可得，四边形CNAM是平行四边形，∴CM→∥NA→且|CM→|＝|NA→|.∵|CM→|＝|CB→|－|MB→|＝|DA→|－|MB→|，答案|NA→|＝|DA→|－|DN→|，∴|DN→|＝|MB→|，又DA→∥CB→，∴DN→与MB→方向相同，即DN→∥MB→，故DN→＝MB→.答案12．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m，按此方法继续操作下去．(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．解(1)如右图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝3608＝45.(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝360n，又n是不小于3的整数，所以当n＝10即α＝36时需操作10次可回到出发点；当n＝12即α＝30时需操作12次可回到出发点．答案本课结束