2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos(－4x)答案D答案解析A中，T＝2π12＝4π；B中，T＝2π2＝π；C中，T＝2π14＝8π；D中，T＝2π|－4|＝π2，故选D.解析2．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是()A.π4B.π2C．πD.3π2解析因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)，故选C.解析答案C答案3．函数f(x)＝sinx1＋cosx的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数答案A答案解析由1＋cosx≠0得x≠(2k＋1)π，k∈Z，显然定义域关于原点对称．因为f(－x)＝sin－x1＋cos－x＝－sinx1＋cosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.解析4．函数y＝－xcosx的部分图象是()解析∵y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C；当x∈0，π2时，y＝－xcosx＜0，排除B，故选D.解析答案D答案5．函数f(x)＝3sin23x＋15π2是()A．周期为3π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为3π的奇函数D．周期为4π3的偶函数答案A答案解析∵f(x)＝3sin23x＋15π2＝3sin23x＋8π－π2＝3sin23x－π2＝－3sinπ2－23x＝－3cos23x，f(－x)＝－3cos－23x＝－3cos23x＝f(x)，f(x＋3π)＝－3cos23x＋3π＝－3cos23x＋2π＝－3cos23x＝f(x)，∴该函数是周期函数也是偶函数，且周期T＝3π，故选A.解析二、填空题6．函数y＝sin2x＋π4＋2的最小正周期是________．解析∵函数y＝sin2x的最小正周期T＝π，∴函数y＝sin2x＋π4＋2的最小正周期为π2.解析答案π2答案7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是________．解析当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，∵f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－sinx.∴f(x)＝sin|x|，x∈R.解析答案f(x)＝sin|x|答案8．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.解析因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝13fx，f(x＋4)＝13fx＋2＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝13f1＝132.解析答案132答案三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)；(2)f(x)＝1＋sinx＋1－sinx；(3)f(x)＝esinx＋e－sinxesinx－e－sinx.解(1)∵∀x∈R，f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx.∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．∴y＝f(x)是奇函数．(2)∵∀x∈R，－1≤sinx≤1，∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.∴f(x)＝1＋sinx＋1－sinx的定义域是R.∵f(－x)＝1＋sin－x＋1－sin－x，＝1－sinx＋1＋sinx＝f(x)，∴y＝f(x)是偶函数．答案(3)∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.∴定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝esin－x＋e－sin－xesin－x－e－sin－x＝e－sinx＋esinxe－sinx－esinx＝－f(x)，∴该函数是奇函数．答案10．已知函数y＝12sinx＋12|sinx|，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解(1)y＝12sinx＋12|sinx|＝sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z，0，x∈[2kπ－π，2kπk∈Z，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，其最小正周期是2π.答案B级：“四能”提升训练1．已知f(x)＝sinax(a＞0)的最小正周期为12.(1)求a的值；(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)．解(1)由2πa＝12，得a＝π6.(2)∵f(x)＝sinπ6x的最小正周期为12，且f(1)＋f(2)＋…＋f(12)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0＋sinπ6＋sinπ3＋sinπ2＝3＋32.答案2．已知函数f(x)＝cos2x＋π3，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈－π2，π2时，g(x)＝fx2，求关于x的方程g(x)＝32的解集．解当x∈－π2，π2时，g(x)＝fx2＝cosx＋π3.因为x＋π3∈－π6，5π6，所以由g(x)＝32，解得x＋π3＝－π6或π6，即x＝－π2或－π6.又因为g(x)的最小正周期为π.所以g(x)＝32的解集为{x|x＝kπ－π2或x＝kπ－π6，k∈Z}答案本课结束