2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.2 三角函数的概念 5.2.2 同角三角

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知tanα＝34，α∈π，3π2，则cosα＝()A．±45B.45C．－45D.35答案C答案解析∵α∈π，3π2，∴cosα0.由tanα＝sinαcosα＝34，sin2α＋cos2α＝1，得cosα＝－45.解析2．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－1答案B答案解析由题意，∵α为第三象限角，∴cosα0，sinα0.1－sin2α＝－cosα，1－cos2α＝－sinα.∴cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.故答案为B.解析3．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于()A．0B．1C．2D．3解析sinα＋sin2α＝1得sinα＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.解析答案B答案4.tanx＋1tanxcos2x等于()A．tanxB．sinxC．cosxD.1tanx解析tanx＋1tanxcos2x＝sinxcosx＋cosxsinxcos2x＝cos2xsinxcosx＝1tanx.解析答案D答案5．已知sinα－cosα＝－52，则tanα＋1tanα的值为()A．－4B．4C．－8D．8答案C答案解析tanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα.∵sinαcosα＝1－sinα－cosα22＝－18，∴tanα＋1tanα＝－8.解析二、填空题6．若sinA＝45，且A是三角形的一个内角，则5sinA＋815cosA－7＝________.答案6或－34答案解析∵sinA＝450，∴A为锐角或钝角．当A为锐角时，cosA＝1－sin2A＝35，∴原式＝6.当A为钝角时，cosA＝－1－sin2A＝－35，∴原式＝5×45＋815×－35－7＝－34.解析7．在△ABC中，2sinA＝3cosA，则角A＝_______.答案π3答案解析由2sinA＝3cosA，得cosA0.∴2sin2A＝3cosA，2(1－cos2A)＝3cosA，2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．又∵0Aπ，∴A＝π3.解析8．已知1＋sinxcosx＝－12，那么cosxsinx－1的值是________．解析∵1＋sinxcosx＝1＋sinx1－sinxcosx1－sinx＝1－sin2xcosx1－sinx＝cos2xcosx1－sinx＝cosx1－sinx＝－12，∴cosxsinx－1＝12.解析答案12答案三、解答题9．求证：cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα.证明证法一：左边＝cosα1＋cosα－sinα1＋sinα1＋sinα1＋cosα＝cos2α－sin2α＋cosα－sinα1＋sinα＋cosα＋sinαcosα＝cosα－sinαcosα＋sinα＋112cosα＋sinα2＋sinα＋cosα＋12＝2cosα－sinαcosα＋sinα＋1sinα＋cosα＋12答案＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝右边．∴原式成立．证法二：∵cosα1＋sinα＝1－sinαcosα＝cosα＋1－sinα1＋sinα＋cosα，sinα1＋cosα＝1－cosαsinα＝sinα＋1－cosα1＋cosα＋sinα，∴cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝2cosα－sinα1＋cosα＋sinα.∴原式成立．答案10．已知sinθ＋cosθ＝－105，求：(1)1sinθ＋1cosθ的值；(2)tanθ的值．解(1)因为sinθ＋cosθ＝－105，所以1＋2sinθcosθ＝25，即sinθcosθ＝－310，所以1sinθ＋1cosθ＝cosθ＋sinθsinθcosθ＝2103.(2)由(1)，得sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝－103，所以tan2θ＋1tanθ＝－103，即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0，所以tanθ＝－3或tanθ＝－13.答案B级：“四能”提升训练1．化简下列各式：(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin210°；(2)1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.解(1)原式＝cos10°－sin10°2sin10°－cos210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.(2)解法一：原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2αsin2α3cos2αsin2αcos2α＋sin2α＝23.答案解法二：原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－[cos2α＋sin2α2－2sin2αcos2α]1－cos2α＋sin2αcos4α－cos2αsin2α＋sin4α＝1－1＋2cos2αsin2α1－[cos2α＋sin2α2－3cos2αsin2α]＝2cos2αsin2α3cos2αsin2α＝23.答案解法三：原式＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝sin2α1＋cos2α－sin2αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23.答案2．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及θ的值．解(1)由题意，得sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2，所以sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12.答案(2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝2＋32，所以sinθcosθ＝34，由(1)，知m2＝34，所以m＝32.答案(3)由(2)可知原方程为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12.所以sinθ＝32，cosθ＝12或sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.答案本课结束