2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案A答案解析因为f(－3)＝60，f(－1)＝－40，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在(－3，－1)内必有零点．又f(2)＝－40，f(4)＝60，所以在(2,4)内必有零点．解析2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解解析因为函数f(x)的图象在[－1,3]上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)0，但方程f(x)＝0在[－1,3]上不一定有实数解．解析答案D答案3．函数f(x)＝lgx－9x的零点所在的大致区间是()A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)解析因为f(9)＝lg9－10，f(10)＝lg10－910＝1－9100，所以f(9)·f(10)0，所以f(x)＝lgx－9x在区间(9,10)上有零点，故选D．解析答案D答案4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为()A．1009B．1010C．2018D．2019解析∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1009个零点，∴在(－∞，0)上也有1009个零点，又∵f(0)＝0，∴共有1009×2＋1＝2019个．解析答案D答案5．设a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若x0a，则()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不确定解析如图所示，画出函数y＝2x与y＝log12x的图象，可知当x0a时，2x0log12x0，故f(x0)0.解析答案B答案二、填空题6．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，∴2＋3＝a，2×3＝－b，即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的两根为－12，－13，即为函数g(x)的零点．解析答案－12，－13答案7．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．解析由零点存在定理，得f(1)·f(－1)0，即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)0，整理得(a＋1)(－5a＋1)0，解得a－1或a15.解析答案(－∞，－1)∪15，＋∞答案8．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．解析由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝B．在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．解析答案(0,2)答案三、解答题9．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x10x2，求实数m的取值范围．解(1)由题意，知2m＋1≠0，4m2－4×2m＋12m－10，解得m1且m≠－1.答案(2)根据二次函数的图象，可知函数f(x)的两个零点满足x10x2，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下．所以有2m＋10，f0＝2m－10或2m＋10，f0＝2m－10，解得－1m12.所以实数m的取值范围是－1，12.答案10．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0，若该方程的一根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，求实数m的取值范围．解设f(x)＝4x2－2(m＋1)x＋m，则函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(0,1)和(1,2)内，画出示意图(如图)：则有f0＝m＞0，f1＝4－2m＋1＋m＜0，f2＝4×22－2×2m＋1＋m＞0，解得2＜m＜4，所以实数m的取值范围为(2,4)．答案B级：“四能”提升训练1．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1或2x＝－12(舍去)．所以x＝0.所以函数f(x)的零点为0.答案(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解．于是2a＝2x＋14x＝12x＋14x＝12x＋122－14.因为12x0，所以2a14－14＝0，即a0.故实数a的取值范围为(0，＋∞)．答案2．已知函数f(x)＝(log2x)2＋4log2x＋m，x∈18，4，m为常数．(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．解令log2x＝t，由x∈18，4，则f(x)＝g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3,2])，(1)由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0,2]内存在实数根，由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0,2]，所以实数m的取值范围是[－12,0)．答案(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)在[－3，2]内有两个互异的零点t1，t2，其中t1＝log2α，t2＝log2β，又因为g(t)表示的二次函数开口向上，对称轴t＝－2∈[－3,2]，所以Δ＝16－4m0，g－3≥0，g2≥0，解得3≤m4，所以实数m的取值范围是[3,4)．根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，即log2α＋log2β＝－4，所以log2(αβ)＝－4，αβ＝2－4＝116.答案本课结束