2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.3 对数 4.3.2 对数的运

4.3.2对数的运算(教师独具内容)课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．教学重点：对数的运算性质、换底公式．教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.核心概念掌握【知识导学】知识点一对数运算性质如果a0且a≠1，M0，N0，那么，(1)loga(MN)＝；(2)logaMN＝；(3)logaMn＝(n∈R)．□01logaM＋logaN□02logaM－logaN□03nlogaM知识点二换底公式(1)对数的换底公式：．(2)三个较为常用的推论①；②；③logambn＝(a0，b0，且均不为1，m≠0)．□01logab＝logcblogca(a0且a≠1；c0且c≠1；b0)□02logab·logbc·logca＝1(a0，b0，c0，且均不为1)□03logab＝1logba(a0，b0，且均不为1)□04nmlogab【新知拓展】(1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件．(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaMN＝logaMlogaN，logaMn＝(logaM)n.(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为它们对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得logab＝log－2blog－2a.()×√××2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)log325－log35＝________.(2)lg8＋lg53＝________.(3)若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.答案(1)log35(2)3(3)ab答案核心素养形成题型一对数运算性质的应用例1若a0，且a≠1，xy0，n∈N*，则下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④logaxlogay＝logaxy；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga1x；⑦logaxn＝loganx；⑧logax－yx＋y＝－logax＋yx－y.其中式子成立的个数为()A．3B．4C．5D．6[解析]对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；解析对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24log22＝2≠log242＝1，∴logaxlogay＝logaxy不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；⑥成立，由于－loga1x＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；解析⑦成立，由于loganx＝logax1n＝1nlogax；⑧成立，由于logax－yx＋y＝logax＋yx－y－1＝－logax＋yx－y.解析[答案]A答案例2化简：(1)4lg2＋3lg5－lg15；(2)lg27＋lg8－3lg10lg1.2；(3)2log32－log3329＋log38－5log53；(4)log28＋43＋log28－43.[解](1)原式＝lg24×5315＝lg104＝4.＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(4)原式＝log2(8＋43·8－43)＝log24＝2.答案金版点睛对数式化简与求值的原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．(3)要注意一些常见的结论，如lg2＋lg5＝1，lg1a＝－lga等．[跟踪训练1]计算：(1)lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(2)log535－2log573＋log57－log51.8；(3)log2748＋log212－12log242－1.解(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.答案(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(3)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.答案题型二换底公式的应用例3计算：(1)(log43＋log83)lg2lg3；(2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．[解](1)原式＝lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＝lg32lg2·lg2lg3＋lg33lg2·lg2lg3＝12＋13＝56.(2)解法一：原式＝log253＋log225log24＋log25log28log52＋log54log525＋log58log5125＝3log25＋2log252log22＋log253log22log52＋2log522log55＋3log523log55＝3＋1＋13log25·3log52＝13log25·log22log25＝13.答案解法二：原式＝lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝13lg53lg2·3lg2lg5＝13.答案解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)(log52＋log5222＋log5323)＝3log25＋log25＋13log25(log52＋log52＋log52)＝3＋1＋13log25·3log52＝133×3＝13.答案金版点睛换底公式在求值中的应用利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数的求值问题，同时要注意换底公式的逆用和变形应用．[跟踪训练2]计算：(1)log23×log34×log45×log56×log67×log78；(2)log52×log79log513×log734＋log2(3＋5－3－5)．解(1)原式＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3lg2lg2＝3.答案答案题型三对数式的条件求值问题例4已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.[解]解法一：∵18b＝5，∴log185＝b，又log189＝a，∴log3645＝log1845log1836＝log189×5log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.答案解法二：∵log189＝lg9lg18＝a，∴lg9＝alg18，同理得lg5＝blg18，∴log3645＝lg45lg36＝lg9×5lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a.答案解法三：∵log189＝a，∴log18182＝1－log182＝a，∴log182＝1－a.∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝log1845log1836＝log189＋log1851＋log182＝a＋b2－a.答案解法四：∵log189＝a，∴18a＝9.又18b＝5，∴45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.令log3645＝x，则36x＝45＝18a＋b，即183×183x＝18a＋b,182x＝9x·18a＋b.∵18a＝9，∴182x＝(18a)x·18a＋b＝18ax·18a＋b＝18ax＋a＋b.∴2x＝ax＋a＋b，∴x＝a＋b2－a，即log3645＝a＋b2－a.答案金版点睛指数式与对数式之间的转化是解题关键对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数之间的转化是解题的关键．带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练3]已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，1x＋1y＋1z＝0，求abc的值．解解法一：设ax＝by＝cz＝t，∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴1x＋1y＋1z＝1logat＋1logbt＋1logct＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.答案解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t0，∴x＝lgtlga，y＝lgtlgb，z＝lgtlgc，∴1x＋1y＋1z＝lgalgt＋lgblgt＋lgclgt＝lga＋lgb＋lgclgt.∵1x＋1y＋1z＝0，且lgt≠0，∴lga＋lgb＋lgc＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.答案随堂水平达标1．若a0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy0，则下列各式不恒成立的是()①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.A．②④B．①③C．①④D．②③解析∵xy0，∴①中若x0则不成立；③中若x0，y0也不成立，故选B.解析答案B答案2．计算log916×log881的值为()A．18B.118C.83D.38解析log916×log881＝lg16lg9×lg81lg8＝4lg22lg3×4lg33lg2＝83，故选C.解析答案C答案3．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝()A.a＋baB.a＋bbC.aa＋bD.ba＋b解析log36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a＋bb，故选B.解析答案B答案4．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝_______