2019-2020学年新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式课后课时

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x2)中等号成立的条件是()A．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－5解析由基本不等式知等号成立的条件为9x－2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．解析答案C答案2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥2解析根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成立；因为ab＞0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2，故D成立．解析答案D答案3．已知a0，b0，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A.1ab≥8B.1a＋1b≥4C.ab≥12D.1a2＋b2≤12答案B答案解析∵a0，b0，∴a＋b≥2ab，又a＋b＝1，∴2ab≤1，即ab≤12，∴ab≤14.∴1ab≥4.故A不正确，C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，由ab≤14可得a2＋b2＝1－2ab≥12.所以1a2＋b2≤2.故D不正确．对于选项B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝1＋ba＋ab＋1≥4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．故选B.解析4．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8,则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112解析解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝8－x2x＋20.∴0x8.∴x＋2y＝x＋2·8－x2x＋2＝(x＋1)＋9x＋1－2≥2x＋1·9x＋1－2＝4.当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.解析答案B答案解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9，又x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2x＋12y＋1－2＝4，当且仅当x＋1＝2y＋1时“＝”成立，又x＋2y＋2xy＝8，∴x＝2，y＝1时，取“＝”．解析5．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B.98C．2D.94解析zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.解析答案C答案二、填空题6．已知a＞b＞c，则a－bb－c与a－c2的大小关系是________．解析∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴a－c2＝a－b＋b－c2≥a－bb－c，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．解析答案a－bb－c≤a－c2答案7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则2a＋1b的最小值为________．答案83答案解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，∴2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)×13＝4＋4ba＋ab3≥43＋234ba·ab＝83，当且仅当4ba＝ab，即a＝32，b＝34时取等号，∴2a＋1b的最小值为83.故答案为83.解析8．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．答案16答案解析如图所示，连接OC，设OB＝x(0x4)，则BC＝OC2－OB2＝16－x2，AB＝2OB＝2x，所以，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝2x16－x2＝216－x2x2≤216－x2＋x222＝16.当且仅当16－x2＝x2，即x＝22时，等号成立．所以Smax＝16.解析三、解答题9．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，求证：x＋y＋z≤3.证明∵x＞0，y＞0，z＞0，∴x＋y≥2xy，x＋z≥2xz，y＋z≥2yz，∴2(x＋y＋z)≥2(xy＋xz＋yz)．∵x＋y＋z＝1，∴xy＋xz＋yz≤1成立．∵x＋y＋z＋2(xy＋xz＋yz)≤3，即(x＋y＋z)2≤3.∴x＋y＋z≤3.当且仅当x＝y＝z＝13时，等号成立．答案10．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？解设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去48×8x批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用48×8x×40.∴y＝240x＋48×8x×40(0x≤48，x∈Z)．答案∴y＝240x＋64x≥240×2x×64x＝3840，当且仅当x＝64x，即x＝8时取等号．故每人最少应交384048＝80(元)．解析B级：“四能”提升训练1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)1＋1a1＋1b≥9.证明(1)1a＋1b＋1ab＝1a＋1b＋a＋bab＝21a＋1b，∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，∴1a＋1b＋1ab≥8当且仅当a＝b＝12时，等号成立.(2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理，1＋1b＝2＋ab，答案∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.∴1＋1a1＋1b≥9当且仅当a＝b＝12时，等号成立.答案证法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab.由(1)知，1a＋1b＋1ab≥8，故1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab≥9，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．答案2．某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低3x4元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为z(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)(1)求z的函数解析式；(2)求z的最大值，以及z取得最大值时x的值．解(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为1000－3x4元，每件产品的利润为200＋3x4元，年销售量为1－2x万件，故z＝200＋3x41－2x－x＝198.5－400x－x42x40003.(2)z＝198.5－400x－x4≤198.5－2×400x×x4＝178.5，当且仅当400x＝x4，即x＝40时取到等号，即z的最大值是178.5，当z取得最大值时x的值为40.答案本课结束