数学解题思维策略

-1-第一讲数学解题思维策略——高考数学代数推理题一、数学解题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动．在高考试卷中，有一类问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法接轨，这就是代数推理题．这类问题立意新颖，抽象程度高，是数学问题的典型代表．具体说来，其思维过程一般分为三步：首先要领会题意（审题）——弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，则把它翻译成数学语言；其次要明确方向——在审题的基础上，运用所学知识和数学思想方法，明确解题目标与方向；最后要规范表述——采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确地表述．在这里，第一步是关键，这就是我们通常说的审题．二、如何审题？1、理清题意审题，就是明确题目的已知和未知，是解题的第一步，这一步不要怕慢．从近年高考命题的特点来看，试卷容量有减少的趋向，目的也就是要突出对考生的能力检查，增加思考量，倡导多给考生一点思考和探索的时间．其实，题目本身就是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意．2、条件启发解题手段，结论诱导解题方向解题实践表明，条件往往预示可知并启发解题手段，结论则预告需知并诱导解题方向．可以按照条件列出所有的解题手段表解，根据结论写出可能的解题方向，并寻找出它们之间的联系，这样做的另一个好处是，可以将题目进行分解，避免失分．3、挖掘隐蔽条件对于条件，一定要用足用够．解题过程中的关键之处，往往是题目未明显写-2-出的，即隐蔽给予的．一方面，解题时如果遇到“盲点”，可以回过头来分析是否用足用够条件；另一方面，也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这也说明，审题一定不要怕慢．〖例1〗（2005年成都一诊22题）对于函数f(x)，若存在0xR，使00()fxx成立，则称0x为函数f(x)的不动点．已知2()(1)1(0)fxaxbxba．⑴若对bR，f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；⑵在⑴的条件下，若y=f(x)的图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线2(44)ykxaa对称，求b的最小值．〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件在结论二中列出．前提条件→解题手段：信息迁移（数学含义）→三个“二次”结合（数形结合）；子条件→解题手段：①隐蔽条件；②对称性（数形结合）→垂直、中点（点差法）．〔结论分析〕两个结论．结论一→解题方向：不等关系；结论二→解题方向：利用单调性求最值．练习：1、设bxaxxf1log2)(log2)(222，已知21x时，f(x)的最小值是8．⑴求ba；⑵求在⑴的条件下，f(x)0的解集A；⑶设集合},21|||{RxtxxB，且BA，求实数t的取值范围．答案：⑴4ab；⑵xxA0|{}281x或；⑶238521tt或．2、定义在R上的函数f(x)满足：如果对于任意12,xxR，都有12121()[()()]22xxffxfx，则称函数f(x)是R上的凹函数．已知二次函数2()(,0)fxaxxaaR．⑴求证：当0a时，函数f(x)是凹函数；⑵如果[0,1],|()|1xfx，试求实数a的取值范围．答案：⑴略；⑵实数a的取值范围为[2,0)．-3-三、若干具体的解题策略为了使解题的目标和方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些具体的解题策略．一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的．基于这样的认识，常用的解题策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化和间接化等策略．1、熟悉化策略熟悉化策略，就是将陌生的题目变为曾经解过的比较熟悉的题目，进而利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题．可以在分清题目条件和结论的基础上，通过变换题目的条件、结论及其联系上下功夫．⑴联想回忆基本知识和题型通过联想回忆，找出现有问题和熟悉问题之间的相似之处和相同的知识点，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有问题．⑵全方位、多角度分析题意全方位分析题意，即把题目的所有条件都要分析透，并找到各条件间以及条件和结论间的联系，从中找出熟悉的解题手段；多角度分析题意，就是要善于从不同的侧面、不同的角度去认识，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，找到自己熟悉的解题方向．⑶恰当构造辅助元素通过构造辅助元素，如构造数列、构造图形或几何量、构造等价性命题等，改变题目的形式，变陌生题为熟悉题．〖例2〗（2003年成都一诊20题）已知数列{an}的前n项和为Sn，p为非零常数，满足条件：①a1=1；②Sn=4an+Sn–1–pan–1(2n)；③23limnnS．⑴求证：数列{an}是等比数列；⑵求数列{an}的通项公式；⑶若bn=nan，求数列{bn}的前n项和nnbbbT21．〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件分项列出．子条件①、②→联想回忆：an=Sn–Sn–1(2n)；子条件③→联想回忆：等比数列前n项和的极限值存在，则公比q的绝对值小于1．-4-〔结论分析〕三个结论．结论一→根据定义证明；结论二→求出公比；结论三→联想回忆：数列{bn}的通项是等差、等比数列的通项积，可用错位相减法求前n项和．〔解题评析〕⑴证明：∵Sn=4an+Sn–1–pan–1(2n)，∴an=Sn–Sn–1=4an–pan–1，（点评：应用an=Sn–Sn–1(2n)．）3an=pan–1．∵0p且a1=1，∴)2(01nan，∴)(31常数paann，故数列{an}是首项a1=1，公比3pq的等比数列．（点评：应说明)2(01nan．）⑵解：∵23limnnS，∴23311|3|01pap且，（点评：应用无穷递缩等比数列前n项和的极限．）∴p=1，31q．∴数列{an}的通项为1)31(nna．⑶解：13nnnnnab，∴1221333321nnnnbbbT……①nnnnnT33133323131132……②①–②，得nnnnT331313113212nnn3311)31(1-5-nnn)31(2)31(31nnn)31()31(21231．（点评：使用错位相减法求数列前n项和．）∴nnnnT)31(23)31(43491．练习：1、数列{an}的前n项和记作为Sn，已知nnnSa)21(1．⑴写出{an}的通项公式，并证明；⑵对于给出的正整数k，当nk时，ASaknknn1lim，且)001.0,1.0(A，求k值．答案：⑴)1(21nnann；⑵k=2,3,4．2、一计算装置有一数据入口A和一个运算结果的出口B．将自然数列{}(1)nn中的各数依次输入A口，从B口得到数列{}na．结果表明：①从A口输入n=1时，从B口得到113a；②当2n时，从A口输入n，从B口得到的结果na是将前一结果1na先乘以自然数列{}(1)nn中的第1n个奇数，再除以自然数列{}(1)nn中的第n+1个奇数．⑴从A口分别输入2和3时，从B口分别得到什么数？⑵猜测并证明当入口A输入自然数列{}(1)nn时，从B口得到的数列{}na的通项公式；⑶为满足计算需要，工程师对装置进行了改造，使B口出来的数据na依次进入C口进行调整，结果为一列数据{}nb．若1()nnbpnqa，则非零常数p、q满足什么关系式，才能使C口所得数列{}nb为等差数列？答案：⑴115和135；⑵1(21)(21)nann；⑶2pq．3、一个正三棱锥，其侧棱长为1，且三条侧棱两两垂直，求该三棱锥的外-6-接球的表面积．答案：3．2、简单化策略简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法将其转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题．简单化是熟悉化的补充和发挥．一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉．因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已．解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有：寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等．⑴寻求中间环节，挖掘隐含条件就多数结构复杂的题目的生成背景而论，大多是由一些简单题目经适当组合并抽去中间环节而构成的．因此，应尽可能从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，以实现复杂问题简单化．⑵分类考察讨论某些题目，其解题的复杂性在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形．对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化．⑶简化已知条件，恰当分解结论如果解题的复杂性来自于条件或结论的抽象概括，可以考虑将条件进行简单化处理，或尝试把结论分解为几个简单的部分，以便各个击破，解出原题．〖例3〗已知等比数列}{nx的各项为不等于1的正数，数列}{ny满足)10(2logaaaynxn且，设183y，126y．⑴求数列}{ny的前多少项和最大，最大值为多少？⑵试判断是否存在自然数M，使当nM时，1nx恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；⑶令),13(log1Nnnxanxnn，试判断数列}{na的增减性．〔条件分析〕三个条件．第一个条件→解题手段：等比数列；第二个条件→解题手段：两个数列间的关系→等比数列的对数；第三个条件→解题手段：第二个数列具体化．-7-〔结论分析〕三个结论，皆属探索性命题．结论一→最值探索；结论二→有界性探索；结论三→单调性探索．〔解题关键〕数列是定义在正整数集上的函数．〔解题评析〕（I）设等比数列}{nx的公比为)1(qq，则naxnxaynlog2log2．∵qxxxxyyannananannlog2log2)log(log2111，∴数列}{ny为等差数列，设公差为d．（点评：挖掘隐含条件——数列}{ny为等差数列．）∵183y，126y，∴2336yyd，nnyyn224)2()3(3．设数列}{ny前k项和最大，则1211001kyykk，∴前11项和及前12项和为最大，其和为132．（II）Nnaxnn,12．若1nx，即112na，当a1时，n12，不等式不成立；当0a1时，n12，不等式成立．（点评：分类考察讨论．）∴存在,14,13,12M，当nM时，1nx恒成立．（III）1211loglogloglog12)1(12)1(12112nnaaaxananananxnnn．∵)13(0)12)(11(1121111101nnnnnnnaann，∴n13时，数列}{na为递减数列．-8-练习：1、若函数)20(2385cossin2xaxaxy的最大值为1，求a的值．答案：23a．2、已知0c．设P：函数xyc在R上单调递减；Q：不等式|2|1xxc的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，试求c的取值范围．答案：1(0,][1,)2c．3、设函数2()fxaxbxc，对一切[1,1]x，都有|()|1fx，求证：对一切[1,1]x，都有|2|4axb．3、直观化策略直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象、不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借