2019-2020学年高中数学 第一章 坐标系 1-1-2 平面直角坐标系中的伸缩变换课件 北师大版

第1页1．2平面直角坐标系中的伸缩变换第2页知识探究第3页1.设P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩短为原来的1k(k1)，得到点P′(x′，y′)，即x′＝1kx，y′＝y.①我们把①式叫作平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换．第4页2．设P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的k(k1)倍，得到点P′(x′，y′)，即x′＝x，y′＝ky.②我们把②式叫作平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换．3．设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，将φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．第5页1.伸缩变换公式与函数图像的伸缩变换在变换φ：x′＝λ·x，（λ0）y′＝μ·y，（μ0）的作用下，函数y＝f(x)的解析式变为：y′＝μf(1λx′)．这相当于把y＝f(x)的图像做如下两步变换：一是把函数y＝f(x)图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的λ倍，得y＝f(1λx)；二是把函数y＝f(1λx)的图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的μ倍，得y＝μf(1λx)．第6页2．伸缩变换下圆锥曲线的变化在伸缩变换φ：x′＝λ·x，（λ0）y′＝μ·y，（μ0）下，圆和椭圆可以相互转化，但抛物线还是抛物线，双曲线还是双曲线．(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，在变换φ下变为x′2a2λ2＋y′2b2μ2＝1，当λ2＝1a2，μ2＝1b2时，变为x′2＋y′2＝1，即为圆的方程．第7页(2)设抛物线方程为y2＝2px(p0)，在变换φ下变为y′2＝2pμ2λx′，还是抛物线的方程．(3)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)在变换φ下变为x′2a2λ2－y′2b2μ2＝1，还是双曲线的方程.第8页课时学案第9页题型一点的伸缩变换例1(1)点(2，－3)经过伸缩变换x′＝12x，y′＝3y后的点的坐标为________．【解析】直接将点的坐标分别代入即可得．【答案】(1，－9)第10页(2)点(x，y)经过伸缩变换x′＝12x，y′＝3y后的点的坐标是(－2，6)，则x＝________，y＝________．【解析】将(－2，6)代入(x′，y′)，求出x，y即可．【答案】－42第11页探究1要分析清楚条件中所给的点的坐标是变换前的点还是变换后的点的坐标．第12页思考题1已知▱ABCD的四个顶点的坐标分别是A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，2)，问经过伸缩变换x′＝3x，y′＝2y后，▱ABCD变成什么图形？第13页【解析】由已知，得(x，y)经过伸缩变换x′＝3x，y′＝2y变成点(x′，y′)，其中x′＝3x，y′＝2y，∴点A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，2)经过变换后的点的坐标是A′(－6，2)，B′(－3，6)，C′(9，8)，D′(6，4)，第14页∵kA′B′＝6－2－3＋6＝43，kC′D′＝4－86－9＝43，∴kA′B′＝kC′D′，∵kB′C′＝8－69＋3＝16，kA′D′＝4－26＋6＝16，∴kB′C′＝kA′D′，且在伸缩变换下，直线仍变成直线，∴A′B′∥C′D′，B′C′∥A′D′，即伸缩变换将平行直线变成平行直线，∴经过伸缩变换x′＝3x，y′＝2y后，▱ABCD变成▱A′B′C′D′.第15页题型二曲线的伸缩变换例2(1)已知f1(x)＝sinx，f2(x)＝sinωx(ω0)，f2(x)的图像可以看作把f1(x)的图像在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的13(纵坐标不变)而得到的，则ω＝________．【解析】纵坐标不变，横坐标压缩到原来的13，即其周期为原来的13，故ω＝3.【答案】3第16页(2)在平面直角坐标系中，圆x2＋y2＝5经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后的图形是________．第17页【思路】要知道变换后是什么图形，应先求出变换后曲线的方程，因此，可把伸缩变换公式变形，用x′、y′表示x、y，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，进而判断方程表示的图形．第18页【解析】由伸缩变换公式x′＝2x，y′＝3y，得到x＝12x′，y＝13y′，①将①代入x2＋y2＝5，得到经过变换后的图形的方程是(12x′)2＋(13y′)2＝5，即x′220＋y′245＝1，第19页因此，经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后，圆x2＋y2＝5变成椭圆x′220＋y′245＝1.【答案】椭圆第20页探究2求圆经过伸缩变换后的图形，可先求得变换后的图形的方程，由此可判断变换后得到什么图形；在伸缩变换下，圆可以变成椭圆．第21页思考题2在下列平面直角坐标系中，分别作出x225＋y29＝1的图形．(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍．第22页【解析】(1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，则x225＋y29＝1的图形如图(1)．(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图(2)．第23页(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图(3)．第24页题型三已知伸缩变换后的图形方程，确定原图形的方程或变换公式例3(1)在平面直角坐标系中，将抛物线y2＝4x变成抛物线y′2＝9x′的伸缩变换是________．第25页【思路】已知变换前后曲线的方程，求伸缩变换公式，可设变换为φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0），将其代入其中一个方程，比较系数可得λ、μ的值．第26页【解析】方法一：设伸缩变换公式为φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0），①把①代入变换后的抛物线方程y′2＝9x′，得(μy)2＝9(λx)，即μ2·y2＝9λ·x，由于y2＝4x与μ2·y2＝9λ·x表示相同的曲线，则μ21＝9λ4，取μ＝1，λ＝49，得到满足条件的一个伸缩变换为φ：x′＝49x，y′＝y.第27页方法二：设伸缩变换公式为φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0），得x＝1λx′，y＝1μy′，代入变换前抛物线方程y2＝4x，得(1μy′)2＝4(1λx′)，即1μ2y′2＝4λx′，第28页由于y′2＝9x′与1μ2y′2＝4λx′表示相同的曲线，则11μ2＝94λ，取μ＝1，λ＝49，得到满足条件的一个伸缩变换为φ：x′＝49x，y′＝y.【答案】x′＝49x，y′＝y(答案不唯一)第29页(2)在平面直角坐标系中，已知曲线C经过伸缩变换x′＝6x，y′＝5y，变成双曲线x′236－y′225＝1，问曲线C是什么图形？第30页【解析】把伸缩变换x′＝6x，y′＝5y代入双曲线方程x′236－y′225＝1，得（6x）236－（5y）225＝1，即x2－y2＝1，∴曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．第31页探究3求满足图形变换的伸缩变换，即求出伸缩变换公式，其关键是分清变换前后的坐标，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得λ、μ的值．第32页思考题3说说由曲线y＝tanx得到曲线y＝3tan2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换．第33页【解析】y＝tanx的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y＝tan2x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y＝3tan2x.设y′＝3tan2x′，变换公式为x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0，将其代入y′＝3tan2x′得μ＝3，λ＝12，∴x′＝12x，y′＝3y.第34页课后巩固第35页1．点(－23，6)经过伸缩变换x′＝3x，y′＝12y后的点的坐标是________．答案(－2，3)解析把(－23，6)代入x′＝3x，y′＝12y，得x′＝－2，y′＝3.第36页2．点P经过伸缩变换x′＝3x，y′＝2y后的点的坐标是(3π，－4)，则点P的坐标是________．答案(π，－2)解析由伸缩变换公式x′＝3x，y′＝2y，得到x＝13x′，y＝12y′，把(3π，－4)代入，得x＝π，y＝－2.第37页3．在平面直角坐标系中，圆x2＋y2＝4经过伸缩变换x′＝3x，y′＝4y后的图形的方程是________．第38页答案x′236＋y′264＝1解析由伸缩变换公式x′＝3x，y′＝4y得到x＝13x′，y＝14y′，代入圆方程x2＋y2＝4，得x′29＋y′216＝4，即x′236＋y′264＝1.第39页4．在平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，则满足图形变换的伸缩变换公式是________．第40页答案x′＝x，y′＝4y解析设伸缩变换为x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0），将其代入2x′－y′＝4，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4，故伸缩变换公式为x′＝x，y′＝4y.第41页5．正弦曲线y＝sinx经过伸缩变换x′＝13x，y′＝2y后，得到的曲线方程是________．第42页答案y′＝2sin3x′解析由伸缩变换公式x′＝13x，y′＝2y，得到x＝3x′，y＝12y′，代入正弦曲线y＝sinx，得12y′＝sin3x′，即y′＝2sin3x′.第43页