2019-2020学年高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法与分析法课件 北师大版选修2-2

[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发，利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．条件定义公理定理运算法则演绎推理二、综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q三、分析法的定义从________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．求证的结论充分条件条件定义公理定理四、分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件[双基自测]1．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A．bB．－bC.1bD．－1b解析：f(－a)＝lg1＋a1－a＝lg(1－a1＋a)－1＝－lg1－a1＋a＝－f(a)＝－b.答案：B2．已知a、b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的关系是()A．xyB．xyC．x2yD．不确定解析：∵x0，y0，∴要比较x、y的大小，只需比较x2、y2的大小，即比较a＋b＋2ab2与a＋b的大小．∵a、b为不相等的正数，∴2aba＋b.∴a＋b＋2ab2a＋b，即x2y2.∴xy.答案：B3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：因为a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)，所以要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D4．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B5．若aa＋bb＞ab＋ba，则a，b应满足的条件是________．解析：aa＋bb＞ab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b探究一用综合法证明不等式[例1]已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.[解析]法一：∵a，b为正数，且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.法二：∵a，b为正数，∴a＋b≥2ab＞0，1a＋1b≥21ab＞0，∴(a＋b)1a＋1b≥4，又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.法三：∵a，b为正数，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找每一步的必要条件，如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键．1．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2C2＋ccos2A2≥32b.证明：∵左边＝a1＋cosC2＋c1＋cosA2＝12(a＋c)＋12(acosC＋ccosA)＝12(a＋c)＋12(a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc)＝12(a＋c)＋12b≥ac＋b2＝b＋b2＝32b＝右边，∴acos2C2＋ccos2A2≥32b.探究二用分析法证明不等式[例2]在锐角三角形ABC中，求证：tanA·tanB1.[证明]要证tanA·tanB1，只需证sinA·sinBcosA·cosB1.∵A，B为锐角，∴cosA0，cosB0，只需证cosA·cosBsinA·sinB，即cos(A＋B)0.∵C为锐角，∴A＋B＝π－C为钝角．∴cos(A＋B)0恒成立．∴tanA·tanB1.用分析法证明不等式时应注意的问题(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．2．已知函数f(x)＝x2＋3，若ab0，求证：fa＋fb2f(a＋b2)．证明：要证明fa＋fb2f(a＋b2)，即证12[(a2＋3)＋(b2＋3)](a＋b2)2＋3，只需证a2＋b2＋6a＋b22＋6，只需证a2＋b2a＋b22，因此只需证2a2＋2b2a2＋2ab＋b2，即证a2＋b22ab，只需证(a－b)20，由于ab0，所以(a－b)20显然成立，故原不等式成立．探究三综合法与分析法的综合应用[例3]若a，b，c为不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.[解析]要证lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc，只需证lg(a＋b2·b＋c2·c＋a2)lg(a·b·c)，即证a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，c＋a2≥ac0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a＋b2·b＋c2·c＋a2abc成立．所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc成立．对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻找结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．3.如图，已知AB，CD相交于点O，△ACO≌△BDO，AE＝BF.求证：CE＝DF.证明：要证明CE＝DF，只需证明△ECO≌△FDO.∵△ACO≌△BDO，∴CO＝DO，AO＝BO.①又∵AE＝BF，∴EO＝FO.②∵∠EOC与∠FOD是对顶角，∴∠EOC＝∠FOD.③由①②③知△ECO≌△FDO.命题得证．综合法在几何证明中的应用[例4](本题满分12分)如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.[证明](1)因为OA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以OA⊥BD.………………………………2分因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又OA∩AC＝A，所以BD⊥平面ACO.…………………………4分又因为BD平面BDO，所以平面BDO⊥平面ACO.……………6分(2)如图，取OD的中点M，连接EM，CM，则ME∥AD，ME＝12AD.…………7分因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AD＝BC，因为F为BC的中点，………………………………………………8分所以CF∥AD，CF＝12AD，所以ME∥CF，ME＝CF，10分所以四边形EFCM是平行四边形，所以EF∥MC.又因为EF⃘平面OCD，MC平面OCD.所以EF∥平面OCD.……………………12分[规范与警示]易忽略此条件，导致无法证明面面垂直，易错点．正确地构造出平行四边形是证明线面平行的关键，关键点．此类题目在证明过程中要注意应用题中的条件，注意隐含条件的挖掘，如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深，则会导致题目无法证明．几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线作法，找准定理所需的条件．