2019-2020学年高中数学 第一章 统计 8 最小二乘估计课件 北师大版必修3

第一章统计§8最小二乘估计自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．了解线性回归的思想方法，知道最小二乘法的思想．2．会求回归直线方程，并能利用回归直线方程解决实际问题.1．最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2，使得上式达到________的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．最小值2．线性回归方程用x表示x1＋x2＋…＋xnn，用y表示y1＋y2＋…＋ynn，则用最小二乘法可求得b＝x1－xy1－y＋x2－xy2－y＋…＋xn－xyn－yx1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2＝__________________________________.a＝__________.x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－nxyx21＋x22＋…＋x2n－nx2y－bx这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数．练一练：某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a.解：(1)如图：(2)i＝14xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，i＝14x2i＝62＋82＋102＋122＝344，b＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a＝y－bx＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.3．最小二乘法应用利用最小二乘法估计时，要先作出数据的_______．如果________呈现一定的规律性，我们再根据这个规律性进行______．如果散点图呈现出__________，我们可以用____________估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的__________，我们就要利用其他工具进行拟合．散点图散点图拟合线性关系最小二乘法曲线关系1．回归直线与样本点的中心有无关系？对于以(xn，yn)为样本数据而言，(x，y)为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．2．回归直线方程中，b有何意义？在回归直线方程y＝a＋bx中，b表示x每增加一个单位，y平均增加的单位数．当回归系数b＞0时，x每增加一个单位，y就平均增加b个单位；当b＜0时，x每增加一个单位，y就平均减少|b|个单位.典例精析规律总结课堂互动探究某种产品的广告费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有一组对应数据如下表所示.x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程．【解】(1)散点图如图所示：(2)根据表格中的数据可求得x＝5，y＝50，其他数据如表：ixiyix2ixiyi1230460244016160356025300465036300587064560合计252501451380进而可以求得b＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a＝50－6.5×5＝17.5.于是，线性回归方程为y＝17.5＋6.5x.【规律总结】求线性回归方程的步骤为：(1)计算平均数x，y；(2)计算x21＋x22＋…＋x2n；(3)计算x1y1＋x2y2＋…＋xnyn；(4)将上述有关结果代入公式：b＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－nxyx21＋x22＋…＋x2n－nx2，a＝y－bx，求得b，a；(5)写出方程y＝a＋bx.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8名，他们的数学成绩从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理成绩从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.(1)如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？(2)若这8名同学的数学、物理成绩对应如下表：学生编号12345678数学成绩x6065707580859095物理成绩y7277808488909395根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考数据：x＝77.5，y≈85，i＝18(xi－x)2＝1050，i＝18(yi－y)2≈457，i＝18(xi－x)(yi－y)≈688，1050≈32.4，456≈21.4，550≈23.5.解：(1)应选女生25×840＝5(人)，男生15×840＝3(人)．(2)若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图(图略)，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关，设y与x线性回归方程y＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出b＝6881050≈0.66，a＝85－0.66×77.5＝33.85，所以y与x的线性回归方程为y＝0.66x＋33.85.某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：尿汞含量x246810消光系数y64134205285360(1)作散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)估计尿汞含量为9毫克/升时的消光系数．【解】(1)散点图见下图．(2)x＝6，y＝209.6，其他数据如表：ixiyix2ixiyi12644128241341653636205361230482856422805103601003600合计3010482207774∴b＝7774－5×6×209.6220－5×62＝148640＝37.15.a＝209.6－37.15×6＝－13.3，∴线性回归方程为y＝－13.3＋37.15x.(3)当x＝9时，y＝－13.3＋37.15×9＝321.05≈321，即估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数约为321.【规律总结】用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a、b并写出线性回归方程；(3)根据线性回归方程对总体进行估计．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多的年轻人青睐，某家网络店铺商品的成交量x(件)与店铺的浏览量y(次)之间的对应数据如下表所示：x/件24568y/次3040506070(1)画出表中数据的散点图；(2)根据表中的数据，求出y关于x的回归直线方程；(3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少．解：(1)散点图如图所示．(2)根据散点图，变量x与y之间具有线性相关关系．数据列成下表：ixiyix2ixiyi1230460244016160355025250466036360587064560合计252501451390由上表计算出x＝255＝5，y＝2505＝50，代入公式得b＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝1390－5×5×50145－5×52＝7，a＝y－bx＝50－7×5＝15.故所求的线性回归方程是y＝15＋7x.(3)根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝y－157≥100时，y≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为715次．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【错解】(1)x＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.∴a＝bx－y＝－20×8.5－80＝－250.则回归直线方程为y＝－250x－20.(2)设工厂获得的利润为L元，由题意得，L＝x(－250x－20)－4(－250x－20)＝－250x2＋9980x＋80.当且仅当x＝－99802×－250＝19.96时，L取得最大值．∴当单价定为19.96元时，工厂可获得最大利润．【错因分析】对公式记忆错误，将回归方程中的b与直线y＝kx＋b中的截距混淆．【正解】(1)x＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5.y＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得，L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一线性回归方程的意义1．变量y与x之间的线性回归方程()A．表示y与x之间的函数关系B．表示y与x之间的不确定性关系C．反映y与x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：D2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确；又线性回归方程必过样本中心点(x，y)，故B正确；由线性回归方程中x的系数知，x每增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故C正确；当该大学生身高为170cm时，其体重的估计值为58.79kg，不是准确的，故D不正确．答案：D3．下列说法正确的有()①线性回归方程适用于一切样本和总体；②线性回归方程一般都有局限性；③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围；④根据线性回归方程得到的值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③解析：根据线性回归方程的概念和特征可作出判断：①④不正确，②③正确．答案：B知识点二求线性回归方程4．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为()A．y＝x＋1B．y＝x＋2C．y＝2x＋1D．y＝x－1解析：x＝1＋2＋3＋44＝2.5，y＝2＋3＋4＋54＝3.5，∵回归直线方程过样本中心点(2.5,3.5)，代入验证知应选A．答案：A5．已知变量x，y具有线性相关关系，在某次试验中测得(x，y)的四组值为(0,2)，(3,3)，(－3,0)，(6,5)，求y与x之间的回归方程．解：由题意得x＝0＋3－3＋64＝1.5，y＝2＋3＋0＋54＝2.5，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×2＋3×3＋(－3)×0＋6×5＝39，x21＋x22＋x23＋x24＝02＋32＋(－3)2＋62＝54，∴b＝39－4×1.5×2.554－4×1.52＝815，a＝y－bx＝2.5－815×1.5＝1.7，∴回归方程为y＝815x＋1710.