2019-2020学年高中数学 第一章 数列章末复习提升课课件 北师大版必修5

章末复习提升课第一章数列1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图像法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．项目等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，通常用字母q表示2．等差与等比数列项目等差数列等比数列递推关系an＋1－an＝dan＋1an＝q通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1an＝am＋(n－m)dan＝amqn－m中项若三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，且A＝a＋b2若三个数a，G，b成等比数列，这时G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab项目等差数列等比数列前n项和公式Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2dSn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q(q≠1)Sn＝na1(q＝1)项目等差数列等比数列判断方法定义法an＋1－an是同一个常数an＋1an是同一个常数中项法an＋an＋2＝2an＋1anan＋2＝a2n＋1通项公式法an＝pn＋qan＝pqnSn的形式当d≠0时，Sn是不含常数项的二次函数当q≠1时，Sn中只有qn与常数项，且系数互为相反数项目等差数列等比数列性质下标性质m、n、p、q∈N＋且m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aqam·an＝ap·aqSm，S2m－Sm，S3m－S2m…成等差数列当公比q≠－1时成等比数列1．辨明等差(比)数列的定义等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与前一项的差(比)，是同一常数．利用定义法证明等差(比)数列时，要特别注意n的取值范围．2．“数清”数列的项数在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃．3．注意分类讨论(1)应用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论．(2)等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时常因忽略这点而致误．等差、等比数列的判定与证明判定一个数列是等差或等比数列的常用方法(1)定义法an＋1－an＝d(常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．an＋1an＝q(非零常数，n∈N＋)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．a2n＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．an＝c·qn(c，q均为非零常数，n∈N＋)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B均为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，1，n∈N＋)⇔{an}是等比数列．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.【解】(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.数列的基本运算等差、等比数列的基本运算包括等差、等比数列的通项公式的计算，等差、等比数列性质的考查和前n项和公式的计算，主要知识是以等差、等比数列的基础知识为依托，考察学生对等差、等比数列的灵活掌握以及经过推理得到的性质．目标是考察学生的基础知识和基本运算技能．题目难度不大，但是运算灵活是这类题目的特点．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．【解】(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝bn3，因此数列{bn}是首项为1，公比为13的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.数列求和数列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．①等差数列的前n项和公式；②等比数列的前n项和公式．(2)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．【解】(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝0，1≤n＜10，1，10≤n＜100，2，100≤n＜1000，3，n＝1000，所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.