2019-2020学年高中数学 第一章 数列 2.1 等差数列 第2课时 等差数列的性质课件 北师大

第一章数列第2课时等差数列的性质1．等差数列{an}中的项与序号的关系(1)两项关系an＝am＋()d(m，n∈N＋)．(2)多项关系若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝．若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.n－map＋aq2．等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列．(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．(3)若数列{kn}是等差数列，则数列{akn}也是等差数列．(4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化．判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)在等差数列{an}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N＋，则am＋an＝ar.()(4)若数列{an}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()×××√等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于()A．3B．－3C.32D．－32答案：A等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1，5a2，5a3，…，5an是()A．公差为d的等差数列B．公差为5d的等差数列C．非等差数列D．以上都不对答案：B等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于________．答案：21．等差数列几个常用的结论若{an}是公差为d的等差数列，则(1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列．(2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列．(3){ank}(k∈N＋)是公差为kd的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．2．应用等差数列的性质时，应注意以下两点(1){an}为等差数列，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，反之不一定成立．(2)等差数列{an}中，若m＝p＋q(m，p，q∈N＋)，则am＝ap＋aq不一定成立．等差数列的性质的应用(1)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝()A．7B．14C．21D．7(n－1)(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．(3)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是________．【解析】(1)因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}是等差数列．设{an＋bn}的公差为d，则(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d，即d＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.(3)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24.所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.【答案】(1)B(2)35(3)24等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.1.(1)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于()A．40B．70C．80D．90(2)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－12C．2D．12解析：(1)选D.法一：设等差数列{an}的公差为d.因为a20＝a10＋10d，所以50＝30＋10d，所以d＝2，a40＝a20＋20d＝50＋20×2＝90.法二：因为2a20＝a10＋a30，所以2×50＝30＋a30，所以a30＝70，又因为2a30＝a20＋a40，所以2×70＝50＋a40，所以a40＝90.(2)选C.由3＋an＝an＋1，得公差d=an＋1－an＝3.因为a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.等差数列的实际应用问题某公司2017年经销一种数码产品，获利200万元，从2017年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解】记2017年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年的获利构成等差数列{an}，且当an0时，该公司经销此产品将亏损．设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.由题意知数列{an}为递减数列，令an0，即an＝220－20n0，得n11，即从第12年起，也就是从2028年开始，该公司经销此产品将亏损．解答数列实际应用问题的基本步骤(1)审题，即仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．(3)判型，即判断该数列是否为等差数列．(4)求解，即求出该问题的数学解．(5)还原，即将所求结果还原到实际应用问题中．2.我国某地区为了防止沙漠流动，缓解沙尘暴的侵蚀，决定建立若干条防沙林带，其中最前面一条长133km，最后面一条长293km，各条的长度成等差数列且公差为40km，试求该防沙林带的条数．解：用{an}表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝133，an＝293，d＝40.由通项公式，得293＝133＋(n－1)×40，解得n＝5.故该防沙林带一共有5条．规范解答等差数列的综合问题(本题满分12分)已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？【解】(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，(2分)设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋.所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(4分)(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以数列{bn}也为等差数列，(6分)且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，(8分)所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(10分)(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．(12分)(1)正确分析新数列{bn}的项与原数列{an}中项的关系，得到关系式m＝4n－1，n∈N＋是解题关键．易忽视证明数列{bn}是等差数列，导致解题过程不严谨，至少要扣2分．(2)已知等差数列{an}的基本量后，求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式，首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成，从而确定数列{bn}的特性(公差)是解决本题的关键．(3)有关两个等差数列公共项问题，处理办法有两种，一是将公共项组成等差数列；二是从通项公式入手，利用最小公倍数，建立am＝bn这样的方程，再求一定范围内的整数解．1．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5＋a6＝()A．3B．6C．9D．36解析：选B.因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝30，所以a5＋a6＝6.2．等差数列{an}中，若a6＋a4030＝4，则a2018＝()A．2B．4C．6D．－2解析：选A.因为a6＋a4030＝2a2018，所以2a2018＝4，即a2018＝2.3．一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2m，以后每秒都比前一秒多滑行4m，又知离地前一秒滑行了58m，则这架飞机起飞所用的时间为________秒．解析：飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，所以n＝15(秒)．答案：154．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得（a－d）＋a＋（a＋d）＝18，①（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝116，②由①得a＝6，代入②得d＝±2.因为该数列是递增数列，所以d0，即d＝2.所以这三个数依次为4，6，8.