2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第2节 任意的三角函数 1.2.2 同角三角函数的

1.2.2同角三角函数的基本关系一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P18～P20的内容，回答下列问题．(1)观察教材P19图1.2－8，图中α的正弦线、余弦线各是什么？提示：正弦线是MP，余弦线为OM．(2)若P点坐标为(x，y)，则sinα，cosα各为何值？sinα与cosα有什么关系？提示：sin_α＝y，cos_α＝x，sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝1．(3)若α≠π2＋kπ，k∈Z，能否用sinα和cosα来表示tanα？如果能，试写出它们的关系式．提示：能．tan_α＝sinαcosα．二、归纳总结·核心必记同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于，即sin2α＋cos2α＝．(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的，即sinαcosα＝其中α≠kπ＋π2（k∈Z）.11正切tan_α三、综合迁移·深化思维(1)对任意α，都有sin2α＋cos2α＝1成立吗？提示：是．(2)对任意α，都有tanα＝sinαcosα成立吗？提示：只有当α≠π2＋kπ，k∈Z时，tan_α＝sinαcosα才成立．(3)对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．(4)当2α≠π2＋kπ，k∈Z时，tan2α＝sin2αcos2α是否成立？提示：成立．探究点一利用同角三角函数的基本关系求值[典例精析](1)已知cosα＝－45，求sinα和tanα.(2)已知tanα＝3，求下列各式的值．①4sinα－cosα3sinα＋5cosα；②sin2α－2sinα·cosα－cos2α4cos2α－3sin2α；③34sin2a＋12cos2α.[解](1)sin2α＝1－cos2α＝1－－452＝352，因为cosα＝－45＜0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sinα＝35，tanα＝sinαcosα＝－34；当α是第三象限角时，sinα＝－35，tanα＝sinαcosα＝34.(2)①原式＝4tanα－13tanα＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；②原式＝tan2α－2tanα－14－3tan2α＝9－2×3－14－3×32＝－223；③原式＝34sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝34tan2α＋12tan2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.[类题通法]已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±1－sin2α求得cosα的值，再由公式tanα＝sinαcosα求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±1－cos2α求得sinα的值，再由公式tanα＝sinαcosα求得tanα的值．(3)已知tanα＝m，可以求asinα＋bcosαcsinα＋dcosα或asin2α＋bsinαcosα＋ccos2αdsin2α＋esinαcosα＋fcos2α的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．(4)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．[针对训练]1．(1)已知sinα＝1213，并且α是第二象限角，求cosα和tanα.(2)已知tanα＝43，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．(3)已知tanα＝2，求4sin2α－3sinαcosα－5cos2α的值．解：(1)cos2α＝1－sin2α＝1－12132＝5132，又α是第二象限角，所以cosα＜0，cosα＝－513，tanα＝sinαcosα＝－125.(2)由tanα＝sinαcosα＝43，得sinα＝43cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925.又α是第三象限角，故cosα＝－35，sinα＝43cosα＝－45.(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.探究点二sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用[典例精析]2．已知sinα＋cosα＝－13，0＜α＜π.(1)求sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．[解](1)由sinα＋cosα＝－13，得(sinα＋cosα)2＝19，sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝19，sinαcosα＝－49.(2)因为0＜α＜π，sinαcosα＜0，所以sinα＞0，cosα＜0⇒sinα－cosα＞0.sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝173.[类题通法]已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：①(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；②(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；③(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；④(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.[针对训练]2．若0θπ，sinθcosθ＝－60169，求sinθ－cosθ.解：∵0θπ，sinθcosθ＝－601690，∴sinθ0，cosθ0.∴sinθ－cosθ0.∴sinθ－cosθ＝sinθ－cosθ2＝1－2sinθcosθ＝1－2×－60169＝289169＝1713.探究点三三角函数式的化简与证明[典例精析]化简：sinα1－cosα·tanα－sinαtanα＋sinα.[解]原式＝sinα1－cosα·sinαcosα－sinαsinαcosα＋sinα＝sinα1－cosα·1－cosα1＋cosα＝sinα1－cosα·（1－cosα）21－cos2α＝sinα1－cosα·1－cosα|sinα|＝±1.[类题通法]1.利用同角三角函数关系化简的常用方法（1）化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；（2）对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值号表示，然后考虑正负；（3）对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简．2.简单的三角恒等式的证明思路（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左、右两边等于同一个式子；（3）逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．[针对训练]3．求证：sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝1.证明：sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝sinα1－cosα·cosα·sinαcosα1＋cosα＝sinα1－cosα·sinα1＋cosα＝sin2α1－cos2α＝sin2αsin2α＝1.1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．2．要掌握sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的转换(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；(3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；(4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.[课堂归纳领悟]3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用(1)利用同角三角函数的基本关系求值，见探究点一；(2)sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用，见探究点二；(3)三角函数式的化简与证明的方法，见探究点三.4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sinα、cosα的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sinα、cosα漏解或多解的错误．