2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正

第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)目标定位重点难点1.借助图象理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等)2.能利用正、余弦函数的性质解决一些简单问题重点：三角函数图象与性质的应用难点：能利用正、余弦函数的性质解决一些简单问题函数y＝sinxy＝cosx图象值域____________奇偶性____________[－1,1][－1,1]奇函数偶函数函数y＝sinxy＝cosx周期性最小正周期为______最小正周期为______单调性在__________________(k∈Z)上递增；在__________________(k∈Z)上递减在________________(k∈Z)上递增；在________________(k∈Z)上递减最值x＝__________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝___________(k∈Z)时，ymin＝－1x＝_______(k∈Z)时，ymax＝1；x＝_________(k∈Z)时，ymin＝－12π2π2kπ－π2，2kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]π2＋2kπ－π2＋2kπ2kπ2kπ＋π1．y＝2sinx2的值域是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．R【答案】A2．(2018年福建龙岩校级期中)下列不等式中正确的是()A．sin5π7＞sin4π7B．sin－π5＞sin－π6C．cos5π7＜cos4π7D．cos－π6＜cos－π5【答案】C3．(2018年内蒙古呼伦贝尔二模)若函数f(x)＝1＋asinax＋π6(a＞0)的最大值为3，则f(x)的最小正周期为________．【答案】π4．函数y＝2＋2cosx的单调递增区间是____________．【答案】[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)c求三角函数的单调区间【例1】求函数y＝2sinπ4－x的单调增区间．【解题探究】转化→换元→构造不等式求解→结论【解析】y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4.令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的增区间，即求y＝sinz的减区间．∴π2＋2kπ≤z≤3π2＋2kπ，k∈Z，即π2＋2kπ≤x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z.∴3π4＋2kπ≤x≤7π4＋2kπ，k∈Z.∴函数y＝2sinπ4－x的单调增区间是3π4＋2kπ，7π4＋2kπ(k∈Z)．【方法规律】形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．(2019年湖北孝感期末)y＝sinπ4－2x的单调增区间是()A．kπ－3π8，kπ＋3π8(k∈Z)B．kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)C．kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)D．kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)【答案】D【解析】y＝sinπ4－2x＝－sin2x－π4.令2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8，k∈Z，则函数的递增区间是kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．故选D．比较三角函数值的大小问题【例2】比较下列各组数的大小：(1)cos－235π与cos－174π；(2)sin194°与cos160°；(3)sin1，sin2，sin3.【解题探究】观察角――→诱导公式转化为同一单调区间内的角――→三角函数单调性比较大小【解析】(1)cos－235π＝cos－6π＋75π＝cos75π，cos－174π＝cos－6π＋74π＝cos74π，∵π＜75π＜74π＜2π，∴cos75π＜cos74π，即cos－235π＜cos－174π.(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.(3)∵1＜π2＜2＜3＜π，又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3，0＜π－3＜1＜π－2＜π2，而y＝sinx在0，π2上递增，∴sin(π－3)＜sin1＜sin(π－2)，即sin3＜sin1＜sin2.【方法规律】比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值；(2)不同名的函数化为同名函数；(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．比较下列各组数的大小：(1)sin(－320°)与sin700°；(2)cos17π8与cos37π9.【解析】(1)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin40°，sin700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，又函数y＝sinx在－π2，π2上是增函数，∴sin40°＞sin(－20°)．∴sin(－320°)＞sin700°.(2)∵cos17π8＝cos2π＋π8＝cosπ8，cos37π9＝cos4π＋π9＝cosπ9，又函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cosπ8＜cosπ9.∴cos17π8＜cos37π9.正、余弦函数的值域与最值问题【例3】函数y＝1－2cosπ2x的最小值、最大值分别是()A．0,3B．－1,1C．－1,3D．0,1【解题探究】由－1≤cosπ2x≤1，知－1≤1－2cosπ2x≤3，由此能求出函数y＝1－2cosπ2x的最小值和最大值．【答案】C【解析】∵－1≤cosπ2x≤1，∴－2≤2cosπ2x≤2，∴－1≤1－2cosπ2x≤3.∴函数y＝1－2cosπ2x的最小值是－1，最大值是3.故选C.【规律方法】(1)形如y＝Asinx(或y＝Acosx)的函数的最值要注意对A的讨论．(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．(3)换元后配方利用二次函数求最值．已知函数f(x)＝sin2x＋cosx＋34x∈0，2π3，则函数f(x)的值域为()A．[1,2]B．－14，74C.－34，1D．－14，2【答案】A【解析】f(x)＝sin2x＋cosx＋34＝－cos2x＋cosx＋74＝－cosx－122＋2，∵0≤x≤2π3，∴－12≤cosx≤1.根据二次函数的性质可得当cosx＝12时，函数有最大值2；当cosx＝－12时，函数有最小值1，故选A.用换元法求三角函数最值中的常见错误【示例】函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域是________．【错解】[1，＋∞)【错因】在探求y＝(cosx－2)2＋1的值域时，误认为cosx∈R，而忽略了余弦函数的有界性，即|cosx|≤1.【正解】令t＝cosx，由于x∈R，故－1≤t≤1，y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.当t＝－1，即cosx＝－1时函数有最大值10；当t＝1，即cosx＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10]．【答案】[2,10]【警示】利用换元法求解有关“二次函数型”函数值域问题时要特别注意换元后“新元”的范围，以免扩大或缩小自变量的取值范围．1．正弦、余弦函数的单调性(1)理解正弦函数、余弦函数的单调性，通常作函数y＝sinx，x∈－π2，3π2，y＝cosx，x∈[－π，π]的简图．(2)单调区间要在定义域内求解．(3)求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步．2．解析正弦函数、余弦函数的最值(1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依据函数的定义域来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．1．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数()A.－π4，π4B．π4，3π4C.0，π2D．π2，π【答案】C【解析】若函数y＝cos2x递减，应有2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令k＝0可得0≤x≤π2.2．(2019年广西玉林期末)y＝sinx－|sinx|的值域是()A．[－1,0]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－2,0]【答案】D【解析】y＝sinx－|sinx|＝0，sinx≥0，2sinx，sinx＜0⇒－2≤y≤0.3．对于函数y＝sinx＋1sinx(0xπ)，下列结论正确的是()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值也无最小值【答案】B【解析】∵y＝sinx＋1sinx＝1＋1sinx，又x∈(0，π)，∴sinx∈(0,1]．∴y∈[2，＋∞)，故选B.4．已知函数y＝2sin2x＋π3－π6＜x＜π6，求函数的值域．【解析】∵－π6＜x＜π6，∴0＜2x＋π3＜2π3，根据正弦函数的性质，则0＜sin2x＋π3≤1，∴0＜2sin2x＋π3≤2.∴函数y＝2sin2x＋π3－π6＜x＜π6的值域为(0,2]．