2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)目标定位重点难点1.了解周期函数与最小正周期的意义2.了解三角函数的周期性和奇偶性3.会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性重点：三角函数的性质难点：三角函数的性质的应用1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数2．正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期奇偶性2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)奇函数偶函数1．想一想由于sin(30°＋120°)＝sin30°，则120°是函数y＝sinx的一个周期吗？【解析】不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x＋T)＝f(x)成立的x必须取定义域内的每一个值都可以，即x的任意性．2．(2018年广西玉林陆川中学期末)函数y＝sinωx＋π3的最小正周期是π且ω＞0，则ω＝()A．1B．2C．3D．4【答案】B3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是()【答案】B4．函数f(x)＝x·sin3π2＋x是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】A求三角函数的周期问题【例1】(2018年广西模拟)函数f(x)＝sinx2－π6的最小正周期为()A．π2B．πC．2πD．4π【解题探究】利用公式T＝2π|ω|可直接求出周期，确定选项．【答案】D【解析】函数f(x)＝sinx2－π6的最小正周期T＝2π12＝4π.故选D．【方法规律】求三角函数周期的三种方法(1)定义法．(2)公式法．对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数且A≠0，ω≠0)，T＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)．其中公式法是较常用的方法．求下列函数的最小正周期．(1)y＝sin2x＋π3；(2)y＝|cosx|.【解析】(1)方法一(定义法)：y＝sin2x＋π3＝sin2x＋π3＋2π＝sin2x＋π＋π3，所以此函数的周期是π.方法二(公式法)：利用公式T＝2π|ω|，得y＝sin2x＋π3的周期为2π2＝π.(2)作出函数y＝|cosx|的图象，如图所示，观察图象可知此函数的周期是π.【例2】下列命题中正确是()A．y＝sinx为奇函数B．y＝|sinx|既不是奇函数也不是偶函数C．y＝3sinx＋1为偶函数D．y＝sinx－1为奇函数【解题探究】利用函数的奇偶性判断方法逐一判断即可．【答案】A三角函数奇偶性的判断【解析】y＝sinx为奇函数，正确；y＝|sinx|，因为f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|，所以函数y＝|sinx|是偶函数；y＝3sinx＋1，可知f(－x)＝－3sinx＋1，函数不是奇函数也不是偶函数；y＝sinx－1，可知f(－x)＝－sinx－1，函数不是奇函数也不是偶函数．故选A.【方法规律】判断函数奇偶性应把握好的两个方面(1)看函数的定义域是否关于原点对称．(2)看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．关于函数f(x)＝3sinx，g(x)＝3＋cosx的奇偶性的说法正确的是()A．f(x)，g(x)都是偶函数B．f(x)，g(x)都是奇函数C．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数D．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数【答案】D【解析】函数f(x)＝3sinx，因为f(－x)＝3sin(－x)＝－3sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．g(－x)＝3＋cos(－x)＝3＋cosx＝g(x)，g(x)是偶函数．故选D.三角函数奇偶性与周期性的简单综合【例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值是多少？【解题探究】利用周期性将5π3化到0，π2内再求值．【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴f5π3＝f2π3＋π＝f2π3＝fπ－π3＝f－π3.又f(x)是偶函数，∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.∴f5π3＝32.【特别提醒】(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)．(2019年山东枣庄模拟)函数f(x)＝sin2x＋3π2是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数【答案】B【解析】f(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，则f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，故函数f(x)是偶函数，最小正周期为π.故选B．对周期函数定义理解不到位致误【示例】判断函数y＝cos2x－π6，x∈[－π，π]是否是周期函数．若不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数．【错解】因为cos2x－π6＋2π＝cos2x－π6，即满足f(x＋T)＝f(x)，故函数以2π为周期．【错因】忽略了函数的定义域．【正解】因为x＝π时，x＋T∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，故y＝cos2x－π6，x∈[－π，π]不是周期函数．要使函数为周期函数，需将条件x∈[－π，π]改为x∈R.因为当x∈R时，有y＝cos2x－π6＋2π＝cos2x＋π－π6＝cos2x－π6，故y＝cos2x－π6是以π为周期的函数．【警示】求三角函数周期之前，要尽量将函数化为同名同角三角函数且函数的最高次数为1.1．关于函数周期的理解应注意以下三点①存在一个不等于零的常数T；②对于定义域内的每一个值x，都有x＋T属于这个定义域；③满足f(x＋T)＝f(x)．2．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．1．函数y＝|cos2x|的最小正周期是()A.π4B．π2C．πD．2π【答案】B2．下列说法中正确的是()A．当x＝π2时，sinx＋π6≠sinx，所以π6不是y＝sinx的周期B．当x＝5π12时，sinx＋π6＝sinx，所以π6是y＝sinx的一个周期C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期D．因为cosπ2－x＝sinx，所以π2是y＝cosx的一个周期【答案】A3．(2017年内蒙古校级月考)函数f(x)＝4cos4x－5π2是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数【答案】C【解析】函数f(x)＝4cos4x－5π2＝4cos4x－π2＝4sin4x，是奇函数，周期为2π4＝π2.故选C．4．(2017年江苏南通一模)函数y＝2sin3x－π3的最小正周期为______．【答案】2π3【解析】函数y＝2sin3x－π3的最小正周期为2π3.故答案为2π3.