2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第二课时 三角函数的诱

第二课时三角函数的诱导公式五、六目标导航课标要求1.借助单位圆推导出诱导公式五、六.2.掌握六组诱导公式并能灵活运用.素养达成1.借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式,增强直观想象、逻辑推理的核心素养.2.诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合运用,提升数学运算的核心素养,培养严密性与科学性的思维品质.新知导学课堂探究新知导学·素养养成诱导公式五、六cosαsinα-sinα公式五、六可以概括如下:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,可以简单地说成“函数名改变,符号看象限”.π21.利用诱导公式可得到如下结论名师点津sin(3π2-α)=-cosα,cos(3π2-α)=-sinα;sin(3π2+α)=-cosα,cos(3π2+α)=sinα.2.六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的形式.当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,可简单的记为“奇变偶不变,符号看象限”.课堂探究·素养提升题型一利用诱导公式解决给角(或值)求值[例1]已知sin(π3-α)=12,求cos(π6+α)的值.解:因为π3-α+π6+α=π2,所以π6+α=π2-(π3-α).所以cos(π6+α)=cos[π2-(π3-α)]=sin(π3-α)=12.互动探究1:本例条件若变为“已知sin(2π3+α)=12”,其他不变,则结果又如何?解:cos(π6+α)=cos[(2π3+α)-π2]=cos[π2-(2π3+α)]=sin(2π3+α)=12.互动探究2:本例条件若不变,如何求tan(π3-α)的值?解:由于sin(π3-α)=12,所以cos(π3-α)=±32.所以tan(π3-α)=πsin3πcos3=±33.方法技巧角的转化方法(1)对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式三,化为正角的三角函数.若转化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一,化为0°到360°间的角的三角函数.(2)当化成的角是90°到180°间的角时,再利用180°-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.(3)当化成的角是270°到360°间的角,则利用360°-α及-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.即时训练1-1:已知cos(π6-α)=23,求sin(α-2π3)的值.解:因为(π6-α)+(α-2π3)=-π2,所以sin(α-2π3)=sin[-π2-(π6-α)]=-sin[π2+(π6-α)]=-cos(π6-α)=-23.[备用例1]已知cos(π+α)=-12,α为第一象限角,求cos(π2+α)的值.解:因为cos(π+α)=-cosα=-12,所以cosα=12.又α为第一象限角,所以sinα=21cos=32.所以cos(π2+α)=-sinα=-32.[例2]已知α为第三象限角,f(α)=π3πsincostanπ22tanπsinπ.解:(1)f(α)=π3πsincostanπ22tanπsinπ=cossintantansin=-cosα.题型二利用诱导公式化简求值(1)化简f(α);(2)若cos(α-3π2)=15,求f(α)的值.解:(2)因为cos(α-3π2)=15,所以-sinα=15.从而sinα=-15.又α为第三象限角,所以cosα=-21sin=-265.即f(α)的值为265.方法技巧用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.(2)对于kπ±α和±α这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而后一套公式必须变名.π2变式训练2-1:本例若α为第二象限角,且cos(α+3π2)=15,求f(α)的值.解:因为cos(α+3π2)=15,所以sinα=15.因为α为第二象限角,所以cosα=-21sin=-2115=-265.所以f(α)=-cosα=265.[备用例2]已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求33sinπcosπ22ππcossin22·tan2(π-α)的值.解:因为方程5x2-7x-6=0的根为-35或2,又α是第三象限角,所以sinα=-35,所以cosα=-21sin=-45,所以tanα=sincos=3545=34,所以原式=cossinsincos·tan2α=-tan2α=-916.[例3]求证:23π2sinπcos122312cosπ2=tan9π1tanπ1.题型三利用诱导公式进行证明证明:因为左边=232sinπsin1212sin=2π2sinπsin1212sin=2π2sinsin1212sin=2222sincos1sincos2sin=222sincossincos=sincossincos,右边=tan1tan1=sin1cossin1cos=sincossincos.所以左边=右边.故原等式成立.方法技巧证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法有:(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一法:即证明左、右两边都等于同一个式子.(3)针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,简言之,即化异为同.变式训练3-1:求证:tan2πsin2πcos6π3π3πsincos22=-tanα.证明:左边=tansincosππsin2πcos2π22=tansincosππsincos22=2sinππsincos22=2sincossin=-sincos=-tanα=右边.所以原等式成立.[例4]若sin(α-π3)=13,求cos(π6+α)的值.错解:cos(π6+α)=cosππ23=sin(α-π3)=13.题型四易错辨析纠错:将诱导公式五与诱导公式六混淆,弄错三角函数值的符号致误.正解:法一cos(π6+α)=cos[π2-(π3-α)]=sin(π3-α)=-sin(α-π3)=-13.法二cos(π6+α)=cosππ23=-sinπ3=-13.课堂达标(A)-32(B)32(C)-12(D)12B解析:sin480°=sin(360°+120°)=sin(90°+30°)=cos30°=32.1.sin480°的值是()2.若sin(3π+α)=-12,则cos(7π2-α)等于()(A)-12(B)12(C)32(D)-32解析:因为sin(3π+α)=-sinα=-12,所以sinα=12.所以cos(7π2-α)=cos(3π2-α)=-cos(π2-α)=-sinα=-12.A3.若sin(θ+3π2)0,cos(π2-θ)0,则角θ的终边位于()B(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:因为sin(θ+3π2)=-sin(θ+π2)=-cosθ0,所以cosθ0,又cos(π2-θ)=sinθ0,所以θ为第二象限角.4.化简:sin(-α-5π)·cos(α-π2)=.解析:原式=sin(-α-π)·cos(π2-α)=sinα·sinα=sin2α.答案:sin2α