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1.相关概念(1)单位圆:以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.(2)有向线段:带有_____(规定了起点和终点)的线段.规定:方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之为负值.方向2.三角函数线状元随笔(1)三角函数线的方向.正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂足,正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点.(2)三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴或y轴同向的,为正值,与x轴或y轴反向的,为负值.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)角的三角函数线是直线.()(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度.()(3)第二象限的角没有正切线.()×××2.有下列四个说法:①α一定时,单位圆中的正弦线一定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③α和α+π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角终边相同.不正确说法的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①正确.当α确定时其sinα是确定的.②不正确.例如π6和5π6.③正确,④不正确.答案:C3.如图所示,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线PM,正切线A′T′B.正弦线MP,正切线A′T′C.正弦线MP,正切线ATD.正弦线PM,正切线AT解析:α为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,所以C正确.答案:C4.已知sinα0,tanα0,则α的()A.余弦线方向向右,正切线方向向下B.余弦线方向向右,正切线方向向上C.余弦线方向向左,正切线方向向下D.余弦线方向向上,正切线方向向左解析:因为sinα0,tanα0,所以α是第二象限角,余弦、正切都是负值,因此余弦线方向向左,正切线方向向下.答案:C类型一三角函数线的作法例1做出3π4的正弦线、余弦线和正切线.【解析】角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线AT,与3π4的终边的反向延长线交于点T,则3π4的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.先作单位圆再作角,最后作出三角函数线.方法归纳三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT.跟踪训练1作出-5π8的正弦线、余弦线和正切线.解析:如图:sin-5π8=MP,cos-5π8=OM,tan-5π8=AT.作单位圆、作角、画出三角函数线.类型二利用三角函数线比较大小例2分别比较sin2π3与sin4π5,cos2π3与cos4π5,tan2π3与tan4π5的大小.【解析】在直角坐标系中作单位圆如图所示.以x轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P点,作PM⊥Ox,垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点,则sin2π3=MP,cos2π3=OM,tan2π3=AT.同理,可做出4π5的正弦线、余弦线和正切线,sin4π5=M′P′,cos4π5=OM′,tan4π5=AT′.由图形可知,MPM′P′,符号相同,则sin2π3sin4π5;OMOM′,符号相同,则cos2π3cos4π5;ATAT′,符号相同,则tan2π3tan4π5.利用三角函数线比较sinα与sinβ,cosα与cosβ,tanα与tanβ的大小时,先在坐标系中画出α,β的正弦线、余弦线、正切线,再结合有向线段的长度和方向来比较大小.方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.跟踪训练2设π4απ2,试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果π2α3π4,上述长度关系又如何?解析:如图所示,当π4απ2时,角α的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT,显然在长度上,ATMPOM;当π2α3π4时,角α的正弦线为M′P′,余弦线为OM′,正切线为AT′,显然在长度上,AT′M′P′OM′.由于π4απ2时,sinα,cosα,tanα都大于0,故可以直接根据角的正弦线、余弦线、正切线的长短来比较三者的大小.类型三利用三角函数线解不等式例3求函数f(α)=2sinα-1的定义域.【解析】要使函数f(α)有意义,则sinα≥12.如图所示,画出单位圆,作直线y=12,交单位圆于P1,P2两点,连接OP1,OP2,过点P1,P2作x轴的垂线,垂足分别为M1,M2,易知正弦线M1P1=M2P2=12.在[0,2π)范围内,sinπ6=sin5π6=12,则点P1,P2分别在5π6,π6的终边上,又sinα≥12,结合图形可知,图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≥12的角α的终边所在的范围,即当α∈[0,2π)时,π6≤α≤5π6,故函数f(α)的定义域为α2kπ+π6≤α≤2kπ+5π6,k∈Z.要使函数f(α)有意义,则sinα≥12,利用三角函数线可得α的取值范围,即函数f(α)的定义域.方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点.一般来说,对于sinx≥b,cosx≥a(或sinx≤b,cosx≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围;对于tanx≥c(或tanx≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结合图象可得.跟踪训练3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sinα≥32;(2)cosα≤-12.解析:(1)作直线y=32,交单位圆于A,B两点,作射线OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图1所示的阴影部分,包括边界)即为角α的终边所在的范围.故满足要求的角α的集合为α2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3,k∈Z.(2)作直线x=-12,交单位圆于C,D两点,作射线OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图2所示的阴影部分,包括边界),即为角α的终边所在的范围.故满足条件的角α的集合为{α2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3,k∈Z}.作单位圆画出角α的三角函数线,结合图象写出角的范围.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1.2 任意角的三角函数(二)课件 新人教
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