2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 7 简单几何体的面积和体积 7.2 柱、锥、台

预习课本P46～48，思考并完成以下问题7．2柱、锥、台的体积(1)柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？(2)由柱体的体积公式能得到锥体的体积公式吗？由锥体的体积公式能得到台体的体积公式吗？一、预习教材·问题导入柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝ShS为柱体底面积，h为柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝13ShS为锥体底面积，h为锥体的高台体圆台、棱台V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)·hS上、S下为台体的上、下底面面积，h为高二、归纳总结·核心必记[点睛]柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：(其中S′，S表示台体上、下底面面积)1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求．()(2)锥体的体积是柱体体积的13.()(3)圆台的体积可由两圆锥的体积差得出．()√×√三、基本技能·素养培优2．圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．3．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．答案：2SπS答案：2834．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．答案：4[典例](1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A．18B．17C．16D．15考点一多面体的体积(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2cm2，23cm2，侧棱长为2cm，则其体积为________cm3.(3)一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，这个三棱锥的体积为________．[解析](1)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截去三棱锥A1­AB1D1.设正方体的棱长为a，则VA1­AB1D1＝13×12a3＝16a3，故剩余几何体的体积为a3－16a3＝56a3，所以比值为15，故选D.(2)如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为xcm，ycm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有2x＝2，2y＝23，解得x＝1，y＝3，底面菱形的面积S＝12xy＝32(cm2)，所以该棱柱的体积为V＝Sh＝32×2＝3(cm3)．(3)如图所示，正三棱锥S­ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.因为△ABC是边长为6的正三角形，所以AE＝32×6＝33.则AH＝23AE＝23.在△ABC中，S△ABC＝12BC·AE＝12×6×33＝93.在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，所以SH＝SA2－AH2＝15－12＝3.所以V正三棱锥＝13S△ABC·SH＝13×93×3＝9.[答案](1)D(2)3(3)9求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[类题通法][针对训练](2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．解析：如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，去掉四棱柱MQD1A1­NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为43－12×(2＋4)×2×4＝40.答案：40[典例](1)体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为()A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3(2)把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为________．考点二旋转体的体积[解析](1)由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3.(2)由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×13π×22×2＝16π3，∴所求几何体的体积为16π－16π3＝32π3.[答案](1)A(2)32π3有关旋转体体积计算的技巧要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．[类题通法][针对训练]设圆台的高为3，在轴截面中母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解：作圆台的轴截面A1ABB1，设上、下底面半径分别为r，R，作A1D⊥AB于点D，连接A1B，∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝A1D·cot60°＝3，∴R－r＝3.BD＝A1D·tan60°＝33，∴R＋r＝33.∴R＝23，r＝3，而h＝3，∴V圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π.[典例](1)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．考点三几何体体积的求法解析：V三棱锥A­DED1＝V三棱锥E­DD1A＝13×12×1×1×1＝16.答案：16解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＝13，y2＋z2＝20，x2＋z2＝25，∴x＝3，y＝2，z＝4.∵VD­ABE＝13DE·S△ABE＝16V长方体，同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝16V长方体，∴V四面体ABCD＝V长方体－4×16V长方体＝13V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.（2）已知四面体ABCD中，AB＝CD＝13，BC＝AD＝25，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)．(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．[类题通法][针对训练]1.(等积变换法)如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.解：三棱锥的体积V＝13Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝13S△PAC·PB＝13×12×2×4×3＝4.2.(补形法)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.3.(分割法)如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB，EC.四棱锥E­ABCD的体积V四棱锥E­ABCD＝13×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F­EBC＝V三棱锥C­EFB＝12V三棱锥C­ABE＝12V三棱锥E­ABC＝12×12V四棱锥E­ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC＝16＋4＝20.