2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 6 垂直关系 6.1 第一课时 直线与平面垂直

预习课本P36～37，思考并完成以下问题6.1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义是怎样的？(2)直线与平面垂直的判定定理是什么？一、预习教材·问题导入1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的一条直线都，那么就称这条直线和这个平面垂直．任何垂直[点睛]关于直线与平面垂直的定义的理解(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．(2)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．二、归纳总结·核心必记2．直线和平面垂直的判定定理(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条直线都，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示.(3)符号语言：aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.相交垂直[点睛]判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．()(2)若a∥b，aα，l⊥α，则l⊥b.()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.()×√×三、基本技能·素养培优2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在答案：C答案：C4．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B[典例]下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3考点一直线与平面垂直关系的判断[解析]当α内的两条直线平行时，l与α不一定垂直，故①不对；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B.[答案]B解决此类问题常用的方法(1)依据定义、定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；(2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．[类题通法][针对训练]如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.答案：①③④[典例]如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.考点二直线与平面垂直的证明[证明]∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[类题通法][针对训练]1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系．解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.又由典例知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD⊥平面SAC.2．将本例改为：已知四棱锥P­ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.证明：在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD.在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.