2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体章末总结课件 新人教A版必修2

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱.()×2.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫做棱台.()3.圆锥是由一个直角三角形绕其一边旋转得来的.()4.到定点的距离等于定长的点的集合是球.()5.若一个几何体的三视图都是一样的图形,则这个几何体一定是球.()××××6.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.()×7.圆台的侧面积公式是π(r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l是其母线长.()√题型探究真题赏析题型探究·素养提升题型一空间几何体的结构特征[典例1]下列说法正确的是()(A)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形(B)棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体(C)任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥(D)通过圆台侧面上一点,有无数条母线解析:圆锥的侧面展开图是一个扇形,A不正确;棱柱的侧面只需是平行四边形,所以B不正确;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D不正确;C任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥是正确的.故选C.规律方法有关空间几何体的概念辨析问题,要紧紧围绕基本概念、结构特征逐条验证,切勿想当然作出判断.题型二空间几何体的三视图与直观图[典例2](1)(2018·赣州高一期末)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为()解析:(1)由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体,是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成,所以侧视图是一个中间有分界线的三角形,故选D.答案:(1)D(2)(2018·黄山屯溪一中高一期末)如图是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图,已知O′B′=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x轴,则A′C′的长为.解析:(2)因为A′B′∥y′轴,所以△ABO中,AB⊥OB,又三角形ABO的面积为16,所以12AB·OB=16,所以AB=8,所以A′B′=4.所以A′C′的长为4·sin45°=22.答案:(2)22规律方法(1)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.(2)组合体的三视图要分开分析,特殊几何体要结合日常生活的观察分析还原.(3)有关直观图的计算问题,关键是把握直观图与原图形的联系.题型三空间几何体的体积与表面积[典例3](1)(2018·湖南郴州高一期末)一个几何体的三视图如图所示,单位:cm,若该几何体的表面积为(34+6)cm2,则图中的实数a的值为()(A)1(B)2(C)3(D)4(1)解析:由三视图可知,几何体是下部是正四棱柱,边长为2cm,高为acm,上部是三棱锥,底面直角边长为1cm,2cm,棱锥的高为2cm,该几何体的表面积为(34+6)cm2,可得2×2+8a+4-12×2×1+12×2×2+12×1×2+12×22×3=34+6,解得a=3(cm).故选C.(2)某几何体的三视图如图所示,试求该几何体的体积.(2)解:由三视图知,该几何体是一圆柱被平面所截后得的简单组合体,如图所示,其中AD=5,BC=2,且底面圆的半径R=2.过C点作平行于底面的截面,将几何体分成两部分.故该几何体的体积V=π×22×2+12π×22×3=14π.(3)(2018·河源高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.①求该几何体的体积V;(3)解:由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形,如示意图所示.①几何体的体积为V=13·S矩形·h=13×6×8×4=64.②求该几何体的侧面积S.(3)解:②正侧面及其相对侧面底边上的高为h1=2243=5.左、右侧面的底边上的高为h2=2244=42.故几何体的侧面面积为S=2×(12×8×5+12×6×42)=40+242.规律方法(1)①多面体的表面积是各个面的面积之和,计算组合体的表面积时应注意衔接部分的处理.②求解旋转体的表面积问题时注意其侧面展开图的应用.(2)①若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.②若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.题型四球与其他几何体的组合问题[典例4](2018·合肥高一期末)已知△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2,P是平面ABC外的一点,且满足PA=PB=PC,∠APB=120°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.解析:PA=PB=PC,所以棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心,则△ABP的外接圆半径等于三棱锥P-ABC外接球半径,因为△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2,∠APB=120°,所以△ABP外接圆半径r=33AB=233,则三棱锥P-ABC外接球的半径R=233,故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=16π3.答案:16π3规律方法(1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,充分发挥空间想象能力,做到以下几点:①明确切点和接点的位置;②确定有关元素间的数量关系;③作出合适的截面图.(2)一般地,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素,能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系,将立体问题转化为平面问题解决.题型五易错辨析[典例5]如图所示是正四棱台(上、下底面都是正方形,且上、下底面的中心的连线垂直于上、下底面)ABCD-A1B1C1D1的三视图.根据图中所给数据,求这个正四棱台的侧面积.错解:正四棱台的侧面是四个一样大小的等腰梯形.且每个梯形的高是4,上底是6,下底是8,从而S侧=4[12(6+8)×4]=112.即此正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧面积是112.纠错:正四棱台的正视图与侧视图的高是正四棱台的高,但不是其侧面梯形的高.上面的解法由于对三视图认识不到位而导致错误.正解:正四棱台的直观图如图所示.由三视图可知,A1B1=B1C1=6,AB=BC=8,取上底中心O1,下底中心O,连接O1O,则O1O=4,取B1C1的中点M,BC的中点N,连接MN,O1M,ON,则由于梯形BCC1B1是等腰梯形,MN即为其高.由于M,N分别是B1C1,BC的中点,可知O1M∥ON,且O1M=3,ON=4,四边形O1ONM是一个直角梯形,过M作MH⊥ON,则MH=O1O=4.从而MN=22MHHN=161=17,所以11BCCBS梯形=12(6+8)×17=717.从而此正四棱台的侧面积是2817.[典例6]一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为m2.错解:由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体,其表面积是S=2π×1×4+π×12+π×2×22+π×22=8π+π+42π+4π=(13π+42π)(m2).纠错:解答本题失误的主要原因是未减去圆锥与圆柱重叠部分的面积造成了重复计算.正解:由三视图可知原几何体上部是一个圆锥、下部是一个圆柱,其表面积是S=2π×1×4+π×12+π×2×22+π×22-π×12=8π+π+42π+4π-π=(12π+42π)(m2).答案:12π+42π真题赏析·素养升级1.(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()B(A)217(B)25(C)3(D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N位于OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=14×16=4,OM=2,所以MN=22OMON=2224=25.故选B.2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()(A)122π(B)12π(C)82π(D)10πB解析:设圆柱的轴截面的边长为x,则由x2=8,得x=22,所以S圆柱表=2S底+S侧=2×π×(2)2+2π×2×22=12π.故选B.3.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.A4.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()(A)123(B)183(C)243(D)543B解析:由等边△ABC的面积为93可得34AB2=93,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22Rr=1612=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.5.(2017·全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()(A)90π(B)63π(C)42π(D)36π解析:该几何体为下面是高为4,底面为半径为3的圆的圆柱,上面是同底且高为6的圆柱的一半,故V=π×9×4+12×π×9×6=63π,故选B.B6.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()(A)π(B)3π4(C)π2(D)π4解析:设圆柱底面圆半径为r,高为h,外接球半径为R,则R=1,h=1,所以r=224hR=32,所以圆柱体积V=πr2h=3π4,故选B.B7.(2016·全国Ⅰ卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是()(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π解析:因为78·43πR3=283π,所以R=2.S=78·4π·R2+3·14πR2=17π,故选A.A8.(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()(A)20π(B)24π(C)28π(D)32πC解析:几何体的表面积为S=π·2×22223+2π·2×4+π×22=8π+16π+4π=28π.故选C.9.(2016·全国Ⅲ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()(A)18+365(B)54+185(C)90(D)81B解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积S=2×(3×3+3×6+3×35)=54+185.故选B.10.(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.解析:在Rt△SAB中,SA=SB,S△SAB=12·SA2=8,解得SA=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在Rt△SAO中,∠SAO=30°,所以r=23,h=2,所以圆锥的体积为13πr2·h=13π×(23)2×2=8π.答案:8π