2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构（第二课时）圆柱、圆锥、

第二课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P5～P7，回答下列问题．(1)给出下列实物图，①上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？提示：它们不是由平面多边形围成的．②上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？提示：可以．③如何形成上述几何体的曲面？提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在的直线为轴旋转而成．(2)观察教材图1.1­11中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？提示：(1)中物体所示的几何体由两个圆柱和两个圆台组合而成；(3)中物体所示的几何体由一个长方体截去一个三棱锥而得到．二、归纳总结·核心必记1．圆柱以所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，如图所示．轴：叫做圆柱的轴；底面：的边旋转而成的圆面；侧面：的边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，；柱体：．矩形的一边旋转轴垂直于轴平行于轴不垂直于轴的边圆柱和棱柱统称为柱体2．圆锥以所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，如图所示．轴：叫做圆锥的轴；底面：的边旋转而成的圆面；侧面：旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，；锥体：．直角三角形的一条直角边旋转轴垂直于轴直角三角形的斜边不垂直于轴的边棱锥和圆锥统称为锥体3．圆台用的平面去截圆锥，之间的部分叫做圆台，如图所示．轴：圆锥的；底面：圆锥的底面和；侧面：圆锥的侧面在之间的部分；母线：圆锥的母线在之间的部分；台体：．平行于圆锥底面底面与截面轴截面底面与截面底面与截面棱台和圆台统称为台体4．球的结构特征以所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球，如图所示．球心：半圆的叫做球的球心；半径：半圆的叫做球的半径；直径：半圆的叫做球的直径．半圆的直径圆心半径直径5．简单组合体的结构特征(1)简单组合体的定义：．(2)简单组合体的两种基本形式：简单组合体由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.由简单几何体组合而成的几何体三、综合迁移·深化思维圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？提示：它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆，圆锥只有一个底面；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥．[思考探究]观察下列图形，思考如下问题：(1)圆柱的结构特征是什么？名师指津：①圆柱有无数条母线，它们平行且相等．②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．③过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形．④过任意两条母线的截面是矩形．探究点一旋转体的结构特征(2)圆锥的结构特征是什么？名师指津：①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．②平行于底面的截面都是圆．③过轴的截面是全等的等腰三角形．④过任意两条母线的截面是等腰三角形．3圆台的结构特征是什么？名师指津：①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.②平行于底面的截面是圆.③过轴的截面是全等的等腰梯形.④过任意两条母线的截面是等腰梯形.4球的结构特征是什么？名师指津：①球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体.②根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球.[典例精析]判断下列各命题是否正确(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．[解](1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．[类题通法]1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练]1．下列关于圆柱的说法中不正确的是()A．圆柱的所有母线长都相等B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱解析：根据圆柱的定义和结构特征，易知选项C不正确．答案：C2．下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0B．1C．2D.3解析：①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．故四句话全不正确．答案：A[思考探究]怎样识别简单组合体？名师指津：简单组合体识别的要求如下，(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．探究点二简单组合体[典例精析]描述下列几何体的结构特征．[解]图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．[类题通法]识别简单组合体的要求(1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．[针对训练]3．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体解析：根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．答案：D4．如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解：旋转后的图形草图分别如图①②所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．探究点三有关几何体的计算[典例精析]如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．[思路点拨]画出圆锥的轴截面，利用三角形相似求解．[解]设圆台的母线长为lcm，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.∴SA′SA＝O′A′OA.∴33＋l＝r4r＝14.解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9cm.[类题通法]用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．[针对训练]5．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为hcm，截得该圆台的圆锥的母线为xcm，由条件可得圆台上底半径r′＝2cm，下底半径r＝5cm.(1)由勾股定理得h＝122－5－22＝315(cm)．(2)由三角形相似得：x－12x＝25，解得x＝20(cm)．即圆台的高为315cm，截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用，见探究点一．(2)简单组合体的构成形式及识别方法，见探究点二．3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错，如探究点一，探究点二．