2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 第2节 应用举例 第1课时 正、余弦定理在实际问题

第1课时正、余弦定理在实际问题中的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P11～P15，回答下列问题：(1)在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？提示：利用正弦定理和余弦定理．(2)如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，你能写出计算AB的关系式吗？提示：|AB|＝a2＋b2－2abcosα.(3)李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向．2．归纳总结，核心必记(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为，称为俯角．如图甲．(2)方位角指从正北方向转到目标方向线所成的．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．仰角视线在水平线下方的角按顺时针水平角(3)方向角从指定方向到的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图乙所示．目标方向线所成(4)基线在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做．一般来说，基线越长，测量的精确度．(5)坡度坡面的和水平宽度l的比叫做(或叫做坡比)．基线越高铅垂高度h坡度[问题思考]如图所示，OA、OB的方位角各是多少？如何表示OA、OB的方向角？提示：OA的方位角为60°，OB的方位角为330°，OA的方向角为北偏东60°，OB的方向角为北偏西30°．[课前反思](1)仰角和俯角的概念是：；(2)方位角和方向角的概念是：；(3)方位角和方向角的区别：；(4)基线和坡度的概念是：．1．如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达．[思考]若要测出A，B两点的距离该如何操作？名师指津：要测出A，B的距离，其方法为在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB．2．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达．[思考1]我们在能到达的岸边能测出什么数据？又能求出其他什么数据？名师指津：能测出C、D两点的距离及角α、β、γ、δ的值；根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，能求出AD，AC，BD，BC的长．[思考2]如何求出A，B两点间的距离？名师指津：在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．讲一讲1．(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．103海里B.1063海里C．52海里D．56海里(2)在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．(链接教材P11－例2)[尝试解答](1)在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得BCsin60°＝ABsin45°，所以BC＝32×10＝56(海里)．(2)法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝32a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，∵DBsin∠BCD＝CDsin∠DBC，∴BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝32a·6＋2422＝3＋34a，在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝34a2＋3＋34a2－2×32a·3＋34a·32＝38a2.∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝32a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∴BCsin30°＝CDsin45°.∴BC＝64a.在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2－2×32a·64a·22＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.[答案](1)D三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．练一练1．在本讲(1)中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变又如何求B，C间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°.即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°＝102＋202－2×10×20×12＝300.故BC＝103.则B，C间的距离为103海里．1．观察下图(该图为教材P13－图1.2－4)．AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．[思考1]通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？名师指津：能够测量出的分别是α、β，CD＝a，测角仪器的高h.[思考2]你能说出求AE长的一个解题思路吗？名师指津：求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．[思考3]根据以上问题的思考，你能写出求高度AB的解题过程吗？提示：见教材P13－例3的解析过程．2．观察下图(该图为教材P14－图1.2－5)在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α，在塔底C处测得A处的俯角β.已知铁塔BC部分的高为h.[思考1]若要求山高CD，应放在哪个三角形中求解？名师指津：△ABD或△ACD.[思考2]若在△ABD中求CD，则关键需要求出哪条边？又如何求出关键的这条边？名师指津：关键是求出边BD的长度．可在△ABC中利用正弦定理求出AB，然后在△ABD中求出BD，即可利用CD＝BD－BC求得结论．[思考3]若在△ACD中求CD，则关键需要求出哪条边？又如何求出关键的这条边？名师指津：关键是求出边AC.可在△ABC中利用正弦定理求AC，然后在△ACD中求CD.[思考4]你能写出求山高CD的具体过程吗？提示：见教材P13～P14结论的解析过程．3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α的方向上，行驶akm后到达B处，测得此山顶在西偏北β的方向上，仰角为γ.[思考1]欲求出山高CD，你认为在哪个三角形中研究比较适合？为什么？名师指津：在△BCD中比较适合；因为在已知条件中，只告诉了B处的仰角为γ，在A处的仰角不知道．[思考2]在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？名师指津：根据已知条件，在△ABC中，易计算出BC边．[思考3]你能写出求山高CD的过程吗？名师指津：在△ABC中，由正弦定理求BC，然后在△BCD中求山高CD.2.如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔尖A处的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.(链接教材P13－例3)[尝试解答]设AB＝hm．∵AB⊥MB，AB⊥NB，AB⊥PB，∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，∴MB＝3h，NB＝h，PB＝33h.在△MPB中，cos∠PMB＝MP2＋MB2－BP22MP·MB＝10002＋3h2－13h22×1000×3h.在△MNB中，cos∠NMB＝MN2＋MB2－BN22MN·MB＝5002＋3h2－h22×500×3h.∴10002＋83h22000×3h＝5002＋2h21000×3h.解得h＝2506.∴塔高2506m.(1)解决测量高度问题的一般步骤：①根据已知条件画出示意图；②分析与问题有关的三角形；③运用正、余弦定理解相关的三角形．在解题过程中，要综合运用立体几何与平面几何的知识，注意方程思想的运用．(2)测量高度问题的两个关注点：①“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．②“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．练一练2．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10mB．102mC．103mD．106m解析：选D在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理，得BCsin45°＝CDsin30°，BC＝CD·sin45°sin30°＝102(m)．在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，则AB＝BC·tan60°＝106(m)．3．如图所示，在山根A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为多少米？解：∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.在△ABS中，AB＝AS·sin135°sin30°＝1000×2212＝10002，∴BC＝AB·sin45°＝10002×22＝1000(m)．讲一讲3.如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．[思路点拨]根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，并运用正、余弦定理解决．[尝试解答](1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°，即sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝3314.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．练一练4．在本讲中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．解：设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠CAB，即28tsin135°＝xtsin30°.所以x＝28×sin30°sin135°＝28×1222＝142(海里每小时)．故乙船的速度为142海里每小时．—————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是分析测量问题的实际情景，从而找出解决