2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理 第一课时 正弦定理课件 苏教版必

正弦定理1．1.1集合的含义与表示第一课时正弦定理预习课本P5～8，思考并完成以下问题(1)直角三角形中的边角关系是怎样的？(2)什么是正弦定理？(3)正弦定理可进行怎样的变形？[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即＝2R，其中R是．asinA＝bsinB＝csinC三角形外接圆的半径2．正弦定理的变形(1)a∶b∶c＝；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝；sinA∶sinB∶sinCc＝2RsinCc2R(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，.(5)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.asinC＝csinA[点睛]正弦定理的变形实现了角化边、边化角的转换，应根据需要进行选择．3．解三角形(1)解三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程．(2)利用正弦定理可解决以下两类解三角形问题：①已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；②已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．[点睛]已知两边和其中一边所对角求另一边的对角时可能会出现无解、一解、两解的情况．如下表所示(已知a，b，A，求B)A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形()(2)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立()(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解()×√×解析：(1)错误．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知asinA＝bsinB，即bsinA＝asinB.(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．2．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对的边长是()A．4B．123C．43D．12解析：设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得xsin120°＝46sin45°，于是x＝46sin120°sin45°＝46×3222＝12，故选D.答案：D3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA＝bcosB，则角B的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由asinA＝bsinB及asinA＝bcosB，可得sinB＝cosB．又0Bπ，∴B＝π4.答案：B4．△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有________个．解析：因为asinB＝102，所以asinBb＝3a＝5，所以，符合条件的三角形有2个．答案：2已知两角及一边解三角形[典例]在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.[解]因为A＝30°，C＝105°，所以B＝45°.因为asinA＝bsinB＝csinC，所以b＝asinBsinA＝10sin45°sin30°＝102，c＝asinCsinA＝10sin105°sin30°＝52＋56.已知两角及一边解三角形问题的基本方法(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[活学活用]1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝105°，C＝45°，c＝2，则b＝()A．1B.2C.3D．2解析：在△ABC中，∵A＝105°，C＝45°，∴B＝180°－A－C＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理bsinB＝csinC，得bsin30°＝2sin45°，解得b＝1.故选A.答案：A2．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.解析：因为tanA＝13，所以sinA＝1010.由正弦定理知AB＝BCsinA·sinC＝10sin150°＝102.答案：1023．在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求a，b，C.解：C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理asinA＝csinC，得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin105°＝10×226＋24＝10(3－1)．由bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝103－1·sin30°sin45°＝5(6－2).已知两边及一边的对角解三角形[典例]在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，求b，B，C.[解]∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.已知两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]1．△ABC中，B＝45°，b＝2，a＝1，则角A＝________.解析：由正弦定理得，1sinA＝2sin45°，解得sinA＝12，所以A＝30°或A＝150°.又因ba，所以BA，则A＝30°.答案：30°2．在△ABC中，a＝1，b＝3，A＝30°，求边c的长．解：由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝32.∵ab，∴BA＝30°，∴B为60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.此时，c＝a2＋b2＝1＋3＝2.②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.综上知c＝1或2.正弦定理的变形应用[典例]在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________.[解析]由正弦定理知bsinB＝csinC，所以，b＋csinB＋sinC＝bsinB，b＝b＋csinB＋sinC·sinB＝sin30°sin45°＋sin30°＝2－1.[答案]2－1利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用．[活学活用]在△ABC中，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B等于()A．1B.12C．－1D．－12解析：由正弦定理，可得sinAcosA＝sin2B，即sinAcosA＝1－cos2B，所以sinAcosA＋cos2B＝1.答案：A