2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理单元质量测评课件 新人教A版选修2-3

第一章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为()A．9B．12C．18D．24解析分三步：第一步，从(x3＋x2＋x＋1)中任取一项，有4种方法；第二步，从(y2＋y＋1)中任取一项，有3种方法；第三步，从(z＋1)中任取一项有2种方法．根据分步乘法计数原理不同项数为4×3×2＝24.故选D.解析答案D答案2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有()A．7种B．8种C．6种D．9种解析要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．解析答案A答案3.ax＋366的展开式的第2项的系数为－3，则-2ax2dx的值为()A．3B.73C．3或73D．3或－103解析该二项展开式的第2项的系数为C16×a5×36＝－3，解得a＝－1，因此-2ax2dx＝－2－1x2dx＝x33|－1－2＝－13＋83＝73.选B.解析答案B答案4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解析当五位数的万位数字为4时，个位数字可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C12A34＝48(个)；当五位数的万位数字为5时，个位数字可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C13A34＝72(个)，所以比40000大的偶数共有48＋72＝120(个)．选B.解析答案B答案5．设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12019x＋C22019x2＋C32019x3＋…＋C20192019x2019等于()A．iB．－i－1C．－1＋iD．1＋i解析x＝2i1－i＝－1＋i，C12019x＋C22019x2＋C32019x3＋…＋C20192019x2019＝(1＋x)2019－1＝i2019－1＝i3－1＝－i－1.故选B.解析答案B答案6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24解析先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24种放法．故选D.解析答案D答案7．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．1B．－1C．0D．2解析(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.解析答案A答案8．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：多1个、持平、少1个，那么，小明在这一周内每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A．50种B．51种C．140种D．141种解析因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以“多1个”或“少1个”的天数必须相同，可均为0,1,2,3天，共4种情况，所以不同的选择方案共有C06＋C16C15＋C26C24＋C36C33＝141(种)．选D.解析答案D答案9．在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3B．4C．5D．6解析通项Tk＋1＝Ckn(x2)n－k－1xk＝(－1)kCkn·x2n－3k，常数项是15，则2n＝3k，且(－1)k·Ckn＝15，验证n＝6时，k＝4符合题意．解析答案D答案10．将5列车停在不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有()A．120种B．96种C．78种D．72种解析先安排a列车，并按其分类讨论，若a列车在第二轨道上，则剩下四列车可自由安排，有A44种，若a列车在三、四、五轨道上，则有A13种，再停b车，b在除二轨道和a的位置外的位置选一个有A13种，其余车有A33种．因此不同的停放共有A44＋A13A13A33＝78(种)．解析答案C答案11．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解析易知Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C25(x2＋x)3y2.对于(x2＋x)3，由Tt＋1＝Ct3(x2)3－txt＝Ct3x6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为C25C13＝30.解析答案C答案12．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，它们的棱是原正方体的12条面对角线．解析答案C答案一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．故选C.解析第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．使3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．解析由二项式定理得，Tr＋1＝Crn(3x)n－r·1xxr＝Crn3n－rxn－52r，令n－52r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．解析答案5答案14．客厅里4个座位上依次坐有4人，现作如下调整：一人位置不变，其余三人位置均相互调换，则不同的调整方案的种数为________．解析由题意得不同的调整方案有C14C12C11C11＝8(种)．解析答案8答案15．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.解析由二项展开式知Tk＋1＝Ck21x21－k(－1)k，∴a10＋a11＝C1121(－1)11＋C1021(－1)10＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0.解析答案0答案16．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)解析3个人各站一级台阶有A37＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C23A27＝126种站法，共有210＋126＝336种站法．故填336.解析答案336答案三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血共有9人，AB型血共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．答案18．(本小题满分12分)求(1－x)6(1＋x)4的展开式中x3的系数．解解法一：∵(1－x)6的通项Tk＋1＝Ck6(－x)k＝(－1)kCk6xk，k∈{0,1,2,3,4,5,6}，(1＋x)4的通项Tr＋1＝Cr4·xr，r∈{0,1,2,3,4}，又k＋r＝3，则k＝0，r＝3或k＝1，r＝2或k＝2，r＝1或k＝3，r＝0，∴x3的系数为C34－C16C24＋C26C14－C36＝8.答案解法二：∵(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x2)4(1－x)2＝(1－C14x2＋C24x4－C34x6＋C44x8)(1－x)2，∴x3的系数为－C14·(－2)＝8.答案19．(本小题满分12分)已知二项式5x－1xn展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240.(1)求n；(2)求展开式中含x项的系数；(3)求展开式中所有含x的有理项．解(1)由已知得，4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.(2)二项展开式的通项为Cr4(5x)4－r－1xr＝Cr454－r(－1)rx4－32r，令4－32r＝1⇒r＝2.所以含x项的系数为C2452(－1)2＝150.答案(3)由(2)得，4－32r∈Z(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4.所以展开式中所有含x的有理项为第1项625x4，第3项150x，第5项x－2.答案20．(本小题满分12分)设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择I的两个非空子集A和B，求使B中最小的数大于A中最大的数的不同选择方法有多少种？解当A中最大的数为1时，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，有24－1＝15种选择方法；当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，有2×(23－1)＝14种选择方法；当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}或{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，有4×(22－1)＝12种选择方法；答案当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}或{1,2,3,4}，B可以是{5}，有8×1＝8种选择方法．所以满足条件的集合共有15＋14＋12＋8＝49种不同的选择方法．答案21．(本小题满分12分)从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒．解(1)甲、乙2人必须跑中间两棒，则他们本身有一个全排列，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为A22A26＝60.答案(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲、乙2人中选出1人，有C12种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有C12种结果，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为C12C12A36＝480.(3)甲、乙作为一个整体，从余下的6人中选2人，相当于3个人在三个位置上排列，则不同的排法种数为A22C26A33＝180.答案22．(本小题满分12分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)；(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求ba.解(1)根据题意得，C1m＋C1n＝7，即m＋n＝7，①f(x)中的x2的系数为C2m＋C2n＝mm－12＋nn－12＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m代入上式得，x2的系数为m2－7m＋21＝m－722＋354，故当m＝3，或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3、n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4、n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5.答案(2)f(0.003)