2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-3-2 组合的应用课件 北师大版选修2-3

第1页§3组合第二课时组合的应用第2页1．解组合应用题的总体思路(1)考查顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序问题用组合解答，有序问题属排列问题．(2)整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集．计算结果时，使用分类计数原理．第3页(3)局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步计数原理．第4页2．组合问题常见类型及解题思路(1)无条件限制的组合应用题．其解题步骤：①判断；②转化；③求值；④作答．第5页(2)有限制条件的组合应用题．①“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置．一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．第6页②“至多”与“至少”问题．这类问题通常采用排除法，也可以用直接法．③几何中的计算问题．在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．第7页课时学案第8页题型一简单的组合问题例1现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？第9页【解析】本问题中选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个元素的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名，由基本原理，可用直接法求解．第10页(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C102＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名的选法有C62种，从4名女教师中选2名的选法有C42种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C62·C42＝6×52×1·4×32×1＝90种．第11页探究1解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可，只有当它能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在运用分类和分步时，一定要注意有无重复和遗漏．第12页◎思考题1一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？第13页【思路】对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．第14页【解析】(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C1711＝12376(种)．(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C1711种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C111种选法．所以教练员做这件事情的方法数有C1711×C111＝136136种．第15页题型二有限制条件的组合问题例2在我国“四川雅安4·20”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？第16页【思路】本题是组合问题，解答本题首先分清“恰有”、“至少”、“至多”的含义，正确地分类或分步解决．【解析】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C42种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C64种选法，所以共有C42·C64＝90种抽调方法．第17页(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C42·C64种选法；②选3名外科专家，共有C43·C63种选法；③选4名外科专家，共有C44·C62种选法；共有C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185种抽调方法．第18页方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C106种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C41·C65种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C106－C41·C65－C66＝185种抽调方法．第19页(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C41·C65种选法；③有2名外科专家参加，有C42·C64种选法．所以共有C66＋C41·C65＋C42·C64＝115种抽调方法．第20页探究2解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．第21页◎思考题2课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．第22页【解析】(1)一名女生，四名男生．故共有C51·C84＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C113＝165种．(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和有两名队长．故共有：C21·C114＋C22·C113＝825种，或采用排除法：C135－C115＝825种．第23页(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为C52·C83＋C51·C84＋C85＝966种．(5)分两类：第一类女队长当选：C124；第二类女队长不当选：C41·C73＋C42·C72＋C43·C71＋C44.故选法共有：C124＋C41·C73＋C42·C72＋C43·C71＋C44＝790种．第24页题型三与几何有关的组合应用题例3(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法．第25页【解析】(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C53种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C53＋3＝33种．第26页(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C104种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面，有4C64＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C104－(60＋6＋3)＝141(种)．第27页【讲评】解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题一样，只要将图形中隐含的条件准确理解，分析有哪些限制条件．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意有限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．第28页探究3利用组合知识解决与几何有关的问题时要注意：(1)将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是用间接法；(2)要使用分类方法，至于怎样确定分类标准，要具体问题具体分析；(3)常用间接法解决该类问题．第29页◎思考题3在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？第30页【解析】方法一(直接法)分几种情况考虑：以O为顶点的三角形中，另外两个顶点必须分别在OM、ON上，所以有C51·C41个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有C52·C41个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有C51·C42个．因为这是分类问题，所以用分类计数原理，共有C51·C41＋C52·C41＋C51·C42＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．第31页方法二(间接法)先不考虑共线顶点的问题，从10个不同元素中任取3个点的组合数是C103，但其中OM上的6个点(含O)中任取3个点不能得到三角形，ON上的5个点(含O)中任取3个点也不能得到三角形，所以共可以得到C103－C63－C53.即C103－C63－C53＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90个．第32页方法三也可以这样考虑，把O看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O)中取两点，ON上的4点(不含O)中取一点，有C62·C41个三角形；再从OM上的5点(不含O)中取一点，从ON上的4点(不含O)中取两点，可得C51·C42个三角形；所以共有C62·C41＋C51·C42＝15×4＋5×6＝90个.第33页课后巩固第34页1．从1到9这九个自然数中，任取三个数组成一个数组(a，b，c)，且abc，那么这样的不同的数组个数是()A．21个B．28个C．84个D．343个答案C解析C93＝84.第35页2．有10个红球，10个黄球，从中取出4个，要求必须包括两种不同颜色的球的抽法种数有()A．2C102种B．C102·C102种C．C101C203＋C102C102种D．2C101C103＋C102C102种答案D第36页3．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则mn等于()A．0B.14C.12D.34答案B解析n＝C43＝4，m＝C33＝1.第37页4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种第38页答案A解析方法一可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．所以不同的选法共有C31C42＋C32C41＝18＋12＝30种．方法二∵事件“两类课程中至少选一门”的对立事件是“全部选修A和全部选修B”，∴两类课程中各至少选一门种类：C73－C33－C43＝30种．第39页5．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前．则此考生不同的填表方法共有________种．第40页答案270解析选填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有A62种填法；再填第二档次的三个志愿；B、C两校有C32种填法，剩余的一个志愿栏有A31种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有A62C32A31＝2