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1.3.1二项式定理课前自主预习知识点二项式定理及其相关概念1.二项式定理二项展开式:(a+b)n=(n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数叫做二项式系数.特别地,(1+x)n=.□01C0nan+C1nan-1b+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn□02Ckn(k∈{0,1,2,…,n})□031+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn(n∈N*)结构特点:(1)各项的次数都二项式的幂指数n;(2)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零,字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n;(3)共有项.2.二项展开式的通项(a+b)n的二项展开式中的第k+1项叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即Tk+1=.(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)□04等于□05n+1□06Cknan-kbk□07Cknan-kbk1.注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r+1项的二项式系数是Crn,所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n+1个组合数,与a,b的取值无关,且是正数;而第r+1项的系数则是二项式系数Crn与数字系数的积,可能为负数.如(2x+1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15,而第二项的系数则是C15·24.注意:当数字系数为1时,二项式系数恰好就是项的系数.2.要牢记Cknan-kbk是展开式的第k+1项,不要误认为是第k项.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)(a+b)n展开式中共有n项.()(2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同.()(3)Cknan-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.()×××2.做一做(1)x-1x16的二项展开式中第4项是________.(2)展开1+1x4为________.(3)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是________.答案(1)-560x10(2)1+4x+6x2+4x3+1x4(3)10答案解析(1)展开式的通项公式为Tr+1=Cr16·x16-r·-1xr=(-1)r·Cr16·x16-2r,所以第4项为T4=(-1)3C316·x10=-C316x10=-560x10.(2)1+1x4=1+C141x+C241x2+C341x3+1x4=1+4x+6x2+4x3+1x4.(3)T4=C35x2y3含x2y3的项的系数是C35=10.解析课堂互动探究探究1二项式定理的正用与逆用例1(1)若f(x)=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+4,则f(2019)-f(-2019)的值为________;(2)求x-12x4的展开式.[解析](1)根据f(x)的解析式,逆用二项式定理,得f(x)=[(x-1)+1]4+3=x4+3.显然f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴f(2019)-f(-2019)=0.(2)解法一:x-12x4=C04(x)4-C14·(x)3·12x+C24(x)2·12x2-C34x·12x3+C4412x4=x2-2x+32-12x+116x2.解法二:x-12x4=2x-12x4=116x2(2x-1)4=116x2(16x4-32x3+24x2-8x+1)=x2-2x+32-12x+116x2.解析[答案](1)0(2)见解析答案拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.[跟踪训练1](1)用二项式定理展开3x+1x4;(2)化简1+2C1n+4C2n+…+2nCnn.解(1)解法一:3x+1x4=(3x)4+C14(3x)3·1x+C24(3x)21x2+C34(3x)1x3+C441x4=81x2+108x+54+12x+1x2.答案解法二:3x+1x4=3x+1x4=1x2(1+3x)4=1x2[1+C14(3x)+C24(3x)2+C34(3x)3+C44(3x)4]=1x2(1+12x+54x2+108x3+81x4)=1x2+12x+54+108x+81x2.(2)1+2C1n+4C2n+…+2nCnn=C0n+21C1n+22C2n+…+2nCnn=(1+2)n=3n.答案探究2利用二项式定理求某些特定项例2已知3x-123xn的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数及二项式系数;(3)求展开式中所有的有理项.[解](1)由题意得,Tr+1=Crn(3x)n-r·-123xr=(-1)r12rCrnxn-2r3(r=0,1,2,…,n).∴T6=T5+1=(-1)5·125C5n·xn-103,又第6项为常数项,∴n-103=0,∴n=10.答案(2)由(1)知Tr+1=(-1)r12r·Cr10·x10-2r3,令10-2r3=2,得r=2.∴x2的系数为(-1)2·122·C210=454.含x2这一项的二项式系数为C210=45.(3)由题意得,10-2r3为整数,其中0≤r≤10,r∈Z.∵Tr+1为有理项,答案∴10-2r3为有理数,∴10-2r=0,或10-2r=6,或10-2r=-6,得r=5或r=2或r=8.∴有理项为T3=C210122x2=454x2,T6=C510-125=-638,T9=C810-128·x-2=45256x-2.答案拓展提升求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程;(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.[跟踪训练2](1)若x-ax9的展开式中x3的系数是-84,则a=________;(2)x2-13x8的展开式中的常数项是________.答案(1)1(2)7答案解析(1)展开式的通项为Tr+1=Cr9x9-r(-a)r1xr=Cr9·(-a)rx9-2r(0≤r≤9,r∈N).当9-2r=3时,解得r=3,代入得x3的系数,根据题意得C39(-a)3=-84,解得a=1.(2)展开式的通项为Tr+1=Cr8x28-r-13xr=(-1)r128-rCr8x8-r-13r=(-1)r128-rCr8x8-43r(0≤r≤8,r∈N).令8-43r=0,得r=6,则T7=(-1)6128-6C68=7.答案探究3整除及余数问题例3(1)用二项式定理证明:1110-1能被100整除;(2)求9192被100除所得的余数.[解](1)证明:∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C110·109+C210·108+…+C910·10+1)-1=1010+C110·109+C210·108+…+102=100(108+C110·107+C210·106+…+1),∴1110-1能被100整除.答案(2)9192=(100-9)92=C092·10092-C192·10091·9+C292·10090·92-…+C9292992,展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.∵992=(10-1)92=C092·1092-C192·1091+…+C9092·102-C9192·10+1,前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1000,结果为1000-919=81,故9192被100除可得余数为81.答案拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.整除性问题或求余数问题的处理方法:(1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式.(2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了.[跟踪训练3](1)求证32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除;(2)求230-3除以7的余数.解(1)证明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=C0n+18n+1+C1n+18n+…+Cn+1n+1-8n-9=C0n+18n+1+C1n+18n+…+Cn-1n+182+Cnn+1·8+1-8n-9=C0n+18n+1+C1n+18n+…+Cn-1n+182.该式每一项都含因式82,故能被64整除.答案(2)230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3=C010710+C11079+…+C9107+C1010-3=7×(C01079+C11078+…+C910)-2.又∵余数不能为负数(需转化为正数),∴230-3除以7的余数为5.答案随堂达标自测1.若(2x-3x)n+3的展开式中共有15项,则自然数n的值为()A.11B.12C.13D.14解析因为(2x-3x)n+3的展开式中共n+4项,所以n+4=15,即n=11.选A.解析答案A答案2.二项式x3-2x25的展开式中的常数项为()A.80B.-80C.40D.-40解析二项式x3-2x25的展开式的通项为Tr+1=Cr5(x3)5-r-2x2r=(-1)r·2rCr5x15-5r,令15-5r=0,得r=3,所以常数项为T4=(-1)3×23×C35=-80.选B.解析答案B答案3.若C1nx+C2nx2+…+Cnnxn能被7整除,则x,n的值可能为()A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5解析由C1nx+C2nx2+…+Cnnxn=(1+x)n-1,分别将选项A,B,C,D代入检验知,仅有C适合.解析答案C答案4.(1+2)5=a+b2(a,b为有理数),则a+b等于________.解析∵(1+2)5=1+C152+C25(2)2+C35(2)3+C45(2)4+C55(2)5=41+292,∴a=41,b=29,a+b=41+29=70.解析答案70答案5.求(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数.解∵(x+2)10(x2-1)=x2(x+2)10-(x+2)10,本题求x10的系数,只要求(x+2)10展开式中x8及x10的系数.由Tr+1=Cr10x10-r·2r,取r=2得x8的系数为C210×22=180,又x10的系数为C010=1,因此所求系数为180-1=179.答案本课结束
本文标题:2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理课件 新
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