2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第2课时 排

第2课时排列的应用课前自主预习知识点排列应用题的最基本的解法1．直接法：以元素为考察对象，先满足的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以为考察对象，先满足的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．□01特殊元素□02位置□03特殊位置2．间接法：先不考虑附加条件，计算出，再减去3．从位置出发的“”和对不相邻问题采用的“”以及对相邻问题采用的“”，是解答排列问题常用的有效方法．□04总数目□05不符合要求的数目．□06特殊元素优先考虑法□07插空法□08捆绑法间接法是利用了“正难则反”的数学思想，适合正面考虑情况较复杂时的题型．在解题时特别注意不符合条件的情形，不要遗漏．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个幂是排列问题．()(2)把12名学生分成三组参加植树活动，共有多少分组方法是排列问题．()(3)从1,2,3中任选2个数相除可以得到不同的结果数为6.()×√√2．做一做(1)将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法的种数是________．(2)沿途有四个车站，这四个车站之间需要准备不同车票________种．(3)一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．答案(1)720(2)12(3)20答案解析(1)相当于3个元素排在10个位置，则有A310＝720种不同的分法．(2)四个车站中的任一站均可为起点站，也可为终点站，所以共有A24＝12种．(3)从原来的4个节目形成的5个空中，选2个空排列，共有A25＝20种添加方法．解析课堂互动探究探究1排队问题例1有5名男生，4名女生排成一排．(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？(2)若甲男生不站排头也不站排尾，则有多少种不同的排法？(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？(4)若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？[解](1)只要从5名男生，4名女生中任选3人排列即可．所以共有A39＝9×8×7＝504种排法．(2)解法一：(元素分析法)甲是特殊元素，第一步甲站在中间7个位置中的任意一个上，有A17种排法；第二步其余8人站在剩余8个位置上，有A88种排法．由分步乘法计数原理知，共有A17·A88＝282240种排法．答案解法二：(位置分析法)第一步从甲以外的8人中任选2人站在首、尾位置，有A28种排法；第二步排其余7人，有A77种排法．由分步乘法计数原理知，共有A77·A28＝282240种排法．解法三：(间接法)5名男生，4名女生排成一排，共有A99种排法，其中甲站排头的排法有A88种，甲站排尾的排法有A88种．所以符合条件的排法有A99－2A88＝282240(种)．答案(3)女生先站在一起，有A44种排法，全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A66种排法．由分步乘法计数原理知，共有A44·A66＝17280种排法．(4)分两步．第一步：5名男生全排列有A55种排法；第二步：男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，4名女生在这6个空的位置进行排列，有A46种排法．由分步乘法计数原理知，共有A55·A46＝43200种排法．答案拓展提升排队问题的解答策略(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法；(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；(3)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”；(4)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位中，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．[跟踪训练1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队拍照，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男、女生各站在一起；(5)全体站成一排，男生必须站在一起；(6)全体站成一排，男生不能站在一起；(7)全体站成一排，男、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(9)排成前后两排，前排3人，后排4人．解(1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A13种方法，再考虑其余6人的位置，有A66种方法．故有A13·A66＝2160种方法．(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置，有A22种方法，再安排其余5人的位置，有A55种方法．故有A22·A55＝240种方法．(3)解法一：(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端，有A66种方法；第二类，甲不在最右端，甲有A15个位置可选，乙也有A15个位置可选，其余5人有A55种排法，即A15·A15·A55种方法．故有A66＋A15·A15·A55＝3720种方法．答案解法二：(间接法)无限制条件的排列方法共有A77种，而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有A66种，甲在最左端且乙在最右端的排法有A55种．故有A77－2A66＋A55＝3720种方法．解法三：(特殊元素优先法)按最左端先安排分步．对于最左端、除甲外有A16种排法，余下六个位置全排列有A66种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有A15·A55种．故有A16·A66－A15·A55＝3720种方法．答案(4)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A44种排法，全体男生、女生各看成一个元素全排列有A22种排法，由分步乘法计数原理知共有A33·A44·A22＝288种排法．(5)(捆绑法)把所有男生看成一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A33·A55＝720种不同的排法．答案(6)(不相邻问题插空法)先排女生有A44种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A35种排法，故有A44·A35＝1440种不同的排法．(7)对比(6)，让女生插空，有A33·A44＝144种不同的排法．(8)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，故有A25·A22·A44＝960种不同的排法．(9)直接分步完成，共有A37·A44＝5040种不同的排法．答案探究2数字问题例2用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位数且是偶数．[解](1)解法一：从特殊位置入手(直接法)第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A13种排法；第二步：排十万位，有A14种排法；第三步：排其他位，有A44种排法．故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有A13A14A44＝288(个)．解法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法；从1,3,5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法．故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有A14A13A44＝288(个)．答案解法三：(排除法)6个数字全排列有A66种排法，0,2,4在个位上的排列数有3A55个，1,3,5在个位上且0在十万位上的排列数有3A44个，故可以组成无重复的六位数且是奇数的有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)解法一：(排除法)0在十万位上的排列，5在个位上的排列都是不符合题意的六位数，故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．答案解法二：(直接法)十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此分两类．第一类：当个位上排0，有A55种排法；第二类：当个位上不排0，有A14A14A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．答案(3)当千位上排1,3时，有A12A13A24种排法；当千位上排2时，有A12A24种排法；当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个，形如41××的偶数有A12A13个，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数满足题意．故不大于4310的四位数且是偶数的共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．答案拓展提升不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．[跟踪训练2]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？解(1)(直接法)A15·A35＝300(个)．(间接法)A46－A35＝300(个)．(2)(直接法)因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A35个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有A12·A14·A24个，故有A35＋A12·A14·A24＝156个不同的四位偶数．答案(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A13·A35个，其中第一位是0的有A12·A24个．故适合题意的有A13·A35－A12A24＝156个不同的四位偶数．(3)1在首位的数的个数为A35＝60.2在首位且0在第二位的数的个数为A24＝12.2在首位且1在第二位的数的个数为A24＝12.以上四位数共有84个，故第85个数是2301.答案探究3定序问题例37人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法．[解](1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有A77A22＝2520种不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的1A33.故有A77A33＝840种不同的排法．答案拓展提升这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有Ann种排法，m个元素的全排列有Amm种排法．因此Ann种排法中，关于m个元素的不同分法有Amm类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有AnnAmm种排法．[跟踪训练3]某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加两名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有()A．12种B．30种C．36种D．42种答案D答案解析解法一：由于原来5名同学顺序不变，这5位同学共有6个空位，再增加两名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一个同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42种不同的排列数．解法二：先将所有同学重排，共有A77种方法，而原来5名同学共有A55种不同顺序，因此共有A77÷A55＝42种顺序．解析探究4排列的综合应用例4从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？[解]先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A24种．∴由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程：A14·A24＝48(个)方程要有实根，必须满足Δ＝