2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课

第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一章计数原理考点学习目标核心素养分类加法计数原理通过实例总结出分类加法计数原理，并能应用该原理解决相关问题逻辑推理、数学运算分步乘法计数原理通过实例总结出分步乘法计数原理，并能应用该原理解决相关问题逻辑推理、数学运算两个原理的综合应用明确两个原理的区别与联系，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”计数原理解决一些简单的实际问题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P2～P6的内容，并思考下列问题：1．什么是分类加法计数原理？2．什么是分步乘法计数原理？3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么区别和联系？1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．m＋n■名师点拨对分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．m×n■名师点拨对分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()×√(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．()√√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有()A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为()A．7B．12C．64D．81解析：选B．完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12(种)不同的搭配法．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法．答案：48在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分类加法计数原理【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步乘法计数原理得5×5×4＝100(条)．分步乘法计数原理1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40(条)抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x2m＋y2n＝1的参数m，n，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m0，n0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故组成椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4这四个数字中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24(个)满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12(个)满足要求的三位偶数．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？两个计数原理的综合应用【解】(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000(种)选法．(3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42＝2100(种)选法；②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1260(种)选法；③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1500(种)选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860(种)选法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否完成这件事情；其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A．8B．15C．18D．30解析：选A．共有5＋3＝8(种)不同的选法．2．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有()A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D．要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种)．3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．解析：得到无重复数字的四位偶数，首先排个位数字，在2和4中取一个，有2种取法；然后排前三位，在剩余的四个数字中选3个数字依次排上，共有4×3×2＝24种排法．由分步乘法计数原理知，符合条件的偶数共有2×24＝48(个)．答案：484．某商店有甲型号电视机10台，乙型号电视机8台，丙型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法．解：完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成，第一步，从甲型号中选一台，有10种不同的选法；第二步，从乙型号中选一台，有8种不同的选法；第三步，从丙型号中选一台，有12种不同的选法．根据分步乘法计数原理，有10×8×12＝960(种)，因此共有960种不同的选法．