2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念

1.2函数及其表示1.2.1函数的概念第一课时函数的概念[目标导航]课标要求1.通过实例理解函数的概念,能用集合语言描述具体的函数.2.体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.会求一些简单函数的定义域.素养达成通过函数概念的学习,使学生能从集合与对应的观点理解函数的概念,培养数学抽象、直观想象以及数学建模的核心素养.新知导学·素养养成函数的概念对应关系f任意一个设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的,使对于集合A中的数x,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.唯一{f(x)|x∈A}思考1:任何两个集合都可以建立函数关系吗?答案:不一定,只有两个非空数集之间才能建立函数关系.思考2:在对应关系f下的从集合A到集合B的函数,一定是集合A与集合B中元素一一对应吗?答案:不一定,集合A与集合B中的元素可以是“多对一”或“一对一”的对应关系.思考3:对应关系f是解析式的形式吗?答案:不一定,对应关系f的给出形式多样,可以是文字描述,可以是一个或几个关系式,也可以是表格、图象等.课堂探究·素养提升题型一函数概念的理解[例1]下列能够构成从集合A到集合B的函数的个数为()①A=R,B={x|x0},f:x→y=|x|;②A=Z,B=Z,f:x→y=x2;③A=Z,B=Z,f:x→y=x;④A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:①A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数.②对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数.③集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.④对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数.因此能构成函数的只有②④.选B.一题多变:本例中①将A=R变为A=N*;②A=Z变为A={x|x0}.③A=Z变为A=N;④A={x|-1≤x≤1}变为A=R,其余均不变.还能构成A→B的函数吗?解:①当A=N*,B={x|x0}时,按照对应关系f:x→y=|x|,集合A中的任何一个元素,在B中均有唯一的元素与之对应,能构成A→B的函数;②当A={x|x0}时,A中的部分元素如x=12,x=13等,在f:x→y=x2对应下,在B中没有元素与其对应,故不能构成A→B的函数;③当A=N时,f:x→y=x能构成A→B的函数;④当A=R时,f:x→y=0能构成A→B的函数.方法技巧判断某一对应关系是否为函数的步骤:(1)A,B为非空数集.(2)A中任一元素在B中有唯一元素与之对应.(3)不要求B中的元素都在A中有对应元素(即B中有些元素可以没有A中的元素与其对应).[备用例题](1)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是()(A)①(B)②(C)③(D)④(1)解析:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应,①中,当x=4时,y=42=16∉N,故①不能构成函数;②中,当x=-1时,y=-1+1=0∉N,故②不能构成函数;③中,当x=-1时,y=-1-1=-2∉N,故③不能构成函数;④中,当x=±1时,y=|x|=1∈N,当x=2时,y=|x|=2∈N,当x=4时,y=|x|=4∈N,故④能构成函数.故选D.(2)解:①由x2+y2=4,得y=±24x,如x=3时,y=±1,因此当x变化时,它不能确定y是x的函数.(2)根据下列式子,能否确定y是x的函数?①x2+y2=4;②1x+y=1;③y=5x(x∈R);④y=|x|.②由1x+y=1,得y=(1-1x)2,当x在集合{x|x≥1}内取任何一个值时,都有唯一的y值与之对应,因此它能确定y是x的函数.③由y=5x知当x-5时,y=5x无意义,因此当x∈R时,y=5x不能确定y是x的函数.④由y=|x|知,对任意一个x的值,均有唯一的y值与之对应,因此y是x的函数.题型二函数的图象特征[例2]若集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},则下列四个图形中能表示集合A到集合B的函数关系的是()解析:A选项中,函数的定义域为{x|0≤x≤2},值域为{y|0≤y≤2},不符合题意;B选项中,函数的定义域为{x|0≤x≤2},值域为{y|0≤y≤2},不符合题意;C选项不是函数图象,D选项符合题意.故选D.方法技巧判断给定的集合A与集合B能否构成函数图象时必须满足以下两点:(1)图象在x轴上射影的覆盖区域为集合A;图象在y轴上射影的覆盖区域为集合B或B的真子集;(2)任取一条垂直于x轴的直线,在定义域内移动直线,该直线与函数图象只有一个交点.即时训练2-1:已知集合A={x|0≤x≤3},下列图象中能表示定义域和值域都是A的函数的是()解:所给的四个图象中,只有图象A的定义域和值域均为{x|0≤x≤3}.故选A.题型三求简单函数的定义域[例3](12分)求下列函数的定义域.(1)y=1x·1x;规范解答:(1)要使函数有意义,须10,10,xx即x=1,因此函数的定义域为{1}.………………4分(2)y=212xx+21x;规范解答:(2)要使函数有意义,须220,210,xxx………………5分解得12,1,2xxx且即x≥12且x≠2.……………7分因此函数的定义域为{x︱x≥12且x≠2}.………………8分(3)y=4x+1x(x∈Z).规范解答:(3)要使函数有意义,须40,10,xx即-4≤x≤1.…………………………………………10分又x∈Z,则x=-4,-3,-2,-1,0,1.因此函数的定义域为{-4,-3,-2,-1,0,1}.……………12分方法技巧(1)求函数定义域的常用依据①若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;②若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;③若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合;④若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;⑤若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.(2)函数的定义域一定要写成集合的形式.即时训练3-1:求下列函数的定义域.(1)y=3-12x;(2)y=2x-17x;解:(1)函数y=3-12x的定义域为R.(2)由0,170,xx得0≤x≤17,所以函数y=2x-17x的定义域为{x︱0≤x≤17}.解:(3)要使函数有意义,需230,20,0,xxx＞解得-32≤x2,且x≠0,所以函数y=23x-12x+1x的定义域为{x︱-32≤x2,且x≠0}.(3)y=23x-12x+1x.题型四求抽象函数的定义域[例4]已知函数y=f(x)的定义域为{x|-2≤x≤3},求函数y=f(2x-3)的定义域.解:因为函数y=f(x)的定义域为{x|-2≤x≤3},即x∈{x|-2≤x≤3},函数y=f(2x-3)中2x-3的范围与函数y=f(x)中x的范围相同,所以-2≤2x-3≤3,解得12≤x≤3,所以函数y=f(2x-3)的定义域为{x︱12≤x≤3}.方法技巧两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.(2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定义域.即时训练4-1:已知函数y=f(2x-3)的定义域是{x|-2≤x≤3},求函数y=f(x+2)的定义域.解:因为x∈{x|-2≤x≤3},所以2x-3∈{x|-7≤x≤3},即函数y=f(x)的定义域为{x|-7≤x≤3}.令-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,所以函数y=f(x+2)的定义域为{x|-9≤x≤1}.题型五易错辨析错解:(1)因为f(x)=(2)(3)(2)(1)xxxx=31xx,所以函数f(x)的定义域满足x-1≠0.即函数的定义域为x≠1.[例5](1)函数f(x)=(2)(3)(2)(1)xxxx的定义域是.答案:(1)x≠1纠错:(1)中f(x)=(2)(3)(2)(1)xxxx与g(x)=31xx两函数不等价.另外,函数的定义域应写成集合的形式.正解:(1)f(x)=(2)(3)(2)(1)xxxx的定义域满足x+2≠0且x-1≠0.即函数的定义域为{x|x∈R,x≠-2且x≠1}.答案:(1){x|x∈R,x≠-2且x≠1}错解:(2)因为f(x)=24axax的定义域为R,所以ax2+ax+4≥0在R上恒成立.所以20,160.aaa＞即0a≤16.(2)若函数f(x)=24axax的定义域为R,则a的取值范围是.答案:(2){a|0a≤16}纠错:(2)中当a=0时,f(x)=4的定义域为R.正解:(2)由ax2+ax+4≥0在R上恒成立知a=0或0,0.a＞即0≤a≤16.答案:(2){a|0≤a≤16}课堂达标B1.下列四个图象中,是函数图象的是()(A)①(B)①③④(C)①②③(D)③④A2.下列关于函数y=f(x)的说法正确的是()①y是x的函数;②x是y的函数;③对于不同的x,y也不同;④f(a)表示当x=a时,f(x)的函数值是一个常数.(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④3.(2019·河南省豫西名校高一上学期第一次联考)已知对应关系f:P→Q是从P到Q的一个函数,则P,Q的元素()(A)可以是点(B)必须是实数(C)可以是方程(D)可以是三角形BC4.函数f(x)=3x+12x的定义域是()(A){x|x≥-3}(B){x|-3≤x-2}(C){x|-3≤x-2或x-2}(D){x|x-2}解析:要使函数有意义,则30,20,xx即x≥-3且x≠-2.选C.5.已知函数y=f(x)的定义域为R,则直线x=m与函数y=f(x)的图象的交点个数为.答案:1