2019-2020学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1-3-1 二元平均值不等式课件 北师

第1页§3平均值不等式3．1二元平均值不等式第2页知识探究第3页1.重要不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a，b0，那么a＋b2≥ab．当且仅当a＝b时，等号成立．第4页(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．第5页1.理解基本不等式的两个关键点一是定理成立的条件是a，b都是正数；二是等号取得的条件是当且仅当a＝b时．2．利用a＋b2≥ab求最值的三个条件(1)各项或各因式为正．(2)和或积为定值．(3)各项或各因式能取得相等的值．第6页3．定理1与定理2的不同点定理1的适用范围是a，b∈R；定理2的适用范围是a0，b0.4．两个不等式定理的常见变形(1)ab≤a2＋b22.(2)ab≤(a＋b2)2(a0，b0)．第7页(3)ba＋ab≥2(ab0)．(4)(a＋b2)2≤a2＋b22.(5)a＋b≤2（a2＋b2）.上述不等式中等号成立的充要条件均为a＝b.第8页课时学案第9页题型一利用基本不等式比较大小例1设a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b的大小，并说明理由．第10页【思路】先由已知得到ab与a＋b2的大小关系→再用基本不等式得到ab与2aba＋b的大小关系→再得到a＋b2与a2＋b22的大小关系→结论．第11页【解析】∵a，b∈(0，＋∞)，∴ab≤a＋b2.又∵1a＋1b≥2ab，∴ab≥21a＋1b＝2aba＋b(当且仅当a＝b时取等号)．又∵(a＋b2)2＝a2＋b2＋2ab4≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22，第12页∴a＋b2≤a2＋b22(当且仅当a＝b时取等号)．于是2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(当且仅当a＝b时取等号)．第13页探究1基本不等式有着重要的应用，在使用时还应记住重要的变形公式．如a，b∈R＋且b≥a时，a≤2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22≤b，其中2aba＋b＝21a＋1b为a，b的调和平均，ab为a，b的几何平均，a＋b2为a，b的算术平均，a2＋b22为a，b的平方平均．要注意公式的推导和结论的运用：调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均．第14页思考题1若0ab，a＋b＝1，则12，a，b，2ab，a2＋b2的大小关系是()A．ab122aba2＋b2B.12ab2aba2＋b2C．a2ab12a2＋b2bD．a12b2aba2＋b2第15页【解析】∵0ab，a＋b＝1，∴a12b，排除A，B.∴a＋b2ab，得ab(a＋b2)2＝14.∴2ab12，排除选项D.【答案】C第16页题型二利用基本不等式求最值例2(1)求y＝6x2＋1x2＋4的最大值．(2)求函数y＝x2＋4x2＋1的最小值．(3)已知x0，y0且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．第17页【解析】(1)y＝6x2＋1x2＋4＝6x2＋1（x2＋1）＋3＝6x2＋1＋3x2＋1≤623＝3.即y的最大值为3，当且仅当x2＋1＝3x2＋1时，即x＝±2时取最大值．第18页(2)y＝x2＋4x2＋1＝x2＋1＋4x2＋1－1≥24－1＝3，∴ymin＝3，当且仅当4x2＋1＝x2＋1.即(x2＋1)2＝4，x＝±1时取最小值．第19页(3)∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy时，上述等号成立．又1x＋9y＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.第20页【注意】使用基本不等式求最值时，一定要验证三个条件：一正、二定、三相等，缺一不可．第21页探究2在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．第22页思考题2(1)求y＝x2＋5x2＋4的最小值．(2)若x0，y0，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．第23页【解析】(1)y＝x2＋4＋1x2＋4＝x2＋4＋1x2＋4，当且仅当x2＋4＝1x2＋4，即x2＋4＝1时，取最小值，此时x无解．所以不能用均值不等式求解．第24页令t＝x2＋4，则t≥2.∴y＝t＋1t.∵y′＝1－1t2＝t2－1t2，令y′0，∴t－1或t1.∴当t∈(－∞，－1)或(1，＋∞)时，y＝t＋1t单调递增．∴y＝t＋1t在[2，＋∞)上单调递增．∴ymin＝f(2)＝2＋12＝52.第25页(2)因为x0，y0，且x＋2y＝1，所以1x＋1y＝(1x＋1y)(x＋2y)＝3＋2yx＋xy≥3＋22yx·xy＝3＋22.当且仅当2yx＝xy，即x＝2－1，y＝1－22时，等号成立．所以当x＝2－1，y＝1－22时，1x＋1y取最小值，最小值是3＋22.第26页题型三利用基本不等式证明不等式例3已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.第27页【思路】由a2＋b2≥2ab，a0，b0时，a＋b≥2ab，得形式都是“和≥积”．【证明】∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca.上面三式相加，可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca.即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.第28页探究3(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备均值不等式的结构和条件，然后合理地选择均值不等式或其变形形式进行证明．(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚．(3)注重“和≥积”的形式．第29页思考题3(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)8abc.(2)已知a，b，c都是正数且不全相等，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.第30页【证明】(1)∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca.由上面三式相乘，可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8ab·bc·ca＝8abc.∵a，b，c不全相等，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)8abc.第31页(2)b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc＝ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc－3＝(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)－3，∵a，b，c都是正数，∴ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2.∴(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥6.第32页∵a，b，c不全相等，∴(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)6.即ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc6.∴b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.第33页题型四利用基本不等式解应用题例4如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？第34页【思路】设每间虎笼长为xm，宽为ym，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，所以可用基本不等式求解．第35页【解析】(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.方法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272.第36页即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．第37页方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x0，∴0y6.∴S＝xy＝(9－32y)y＝32(6－y)·y.∵0y6，∴6－y0.∴S≤32·[（6－y）＋y2]2＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5，故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．第38页(2)由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.方法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长为6m，宽为4m时，可使钢筋网总长最小．第39页方法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6(16y＋y)≥6×216y·y＝48.当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长为6m，宽为4m时，可使钢筋网总长最小．第40页探究4在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．第41页思考题4如图，某农场要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10000平方米，鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长宽各为多少米时占地面积最少？第42页【解析】设每个鱼塘的宽为x米．且x0，AB＝3x＋8，AD＝10000x＋6，则总面积y＝(3x＋8)(10000x＋6)＝30048＋80000x＋18x≥30048＋280000x·18x＝32448.第43页当且仅当80000x＝18x，即x＝2003时，等号成立．此时10000x＝150.即鱼塘长为150米，宽为2003米时占地面积最少为32448平方米.第44页课后巩固第45页1．已知a0，则a＋1a与2的大小关系是()A．a＋1a≥2B．a＋1a2C．a＋1a≤2D．a＋1a2第46页答案A解析因为a0，所以a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时取“＝”号，故选A.第47页2．若x∈R，则下列不等式恒成立的是()A．lg(x2＋1)≤lg2xB.1x2＋11C．x2＋12xD.（x＋1）22≥2x答案D第48页3．设x，y为正数，则(x＋y)(1x＋4y)的最小值为()A．6B．9C．12D．15答案B解析(x＋y)(1x＋4y)＝5＋(yx＋4xy)≥5＋24＝9，当且仅当y＝2x时取“＝”，故选B.第49页4．已知2x＋3y＝1(x0，y0)，则xy有()A．最大值24B．最小值24C．最大值26D．最小值26答案B解析∵1＝2x＋3y≥26xy，当且仅当2x＝3y＝12，即x＝4，y＝6时取“＝”．∴6xy≤12，∴xy≥24.第50页5．若a，b∈R＋，a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析1a＋1b＝(1a＋1b)×1＝(1a＋1b)(a＋b2)＝12＋b2a＋a2b＋12≥2.当且仅当a＝b＝1时，取“＝”．第51页6．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：(1)(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8；(2)1a＋1b＋1c≥9.第52页证明(1)左式＝(a＋b＋ca－1)(a＋b＋cb－1)(a＋b＋cc－1)＝(ba＋ca)(ab＋cb)(ac＋bc)≥2bca2·2acb2·2abc2＝8a2b2c2a2b2c2＝8＝右式．∵左式≥右式，∴原不等式得证．第53页(2)左式＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋