2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末总结课件 新人教A版必修2

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)1.方程(x-a)2+(y-b)2=r2表示圆.()×2.当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.()3.若直线x-y+a=0与圆x2+y2=a相切,则a=.()4.直线y=kx-k与圆x2+y2=2一定相交.()5.若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆方程联立消去x2,y2后得到的方程即为两圆相交弦所在直线方程.()6.点A(1,2,3)关于z轴的对称点坐标为A′(1,2,-3).()7.点B(2,-3,-5)关于坐标平面xOy的对称点坐标为B′(-2,3,-5).()√×√√××题型探究·素养提升题型一圆的方程[典例1](2018·安徽宿州高二期末)求适合下列条件的圆的方程.(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有2224,32,1,2baabrabr解得a=1,b=-4,r=22.所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.解:(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则1144120,491007100,814920,DEFDEFDEF解得D=-2,E=-4,F=-95.所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).规律方法用待定系数法求圆的方程的一般步骤第一步:选择圆的方程的某一形式;第二步:由题意,得a,b,r(或D,E,F)的方程(组);第三步:解出a,b,r(或D,E,F);第四步:代入圆的方程.在高考中单独求圆的方程的情况不多,一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查.题型二直线与圆的位置关系[典例2]已知点P(1,5),圆C:x2+y2-4x-4y+4=0.(1)过点P作圆的切线PT,T为切点,求线段PT的长;解:(1)化圆C:x2+y2-4x-4y+4=0为(x-2)2+(y-2)2=4,得圆心为C(2,2),半径r=2.|CP|=222125=10,连接CT,则CT⊥PT,所以|PT|=222CP=6.(2)过点P作直线与圆交于A,B两点,且AB=23,求直线AB的方程.解:(2)设圆心C到直线的距离为d,所以|AB|=222rd=2222d=23,则d=1.若直线的斜率不存在,直线方程为x=1,满足d=1;若直线的斜率存在,设直线方程为y-5=k(x-1),即kx-y+5-k=0.则d=22251kkk=231kk=1,解得k=-43,此时直线的方程为4x+3y-19=0.综上所述,AB方程为4x+3y-19=0或x=1.规律方法(1)确定直线与圆的位置关系可用几何法,也可用代数法,但代数法计算较为烦琐,而几何法的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系.同学们应熟练掌握几何法.(2)求直线与圆相交形成的弦长问题,一般不采用代数法,而是利用圆的几何性质构造相应的直角三角形,利用数形结合求解.题型三圆与圆的位置关系[典例3]已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-4)2=R2(R0).(1)R为何值时,圆C1与圆C2外切;解:(1)由已知圆的方程可得C1(0,0),C2(4,4),则|C1C2|=42=R+1.所以R=42-1.解:(2)因为C1(0,0),C2(4,4),所以P为直线C1C2与圆C2的交点(第一象限),联立22,1,yxxy得P(22,22).当直线斜率存在时,设直线l的斜率为k,所以l:kx-y+22(1-k)=0,则圆心C1到直线l的距离d=22212=222221kk,解得k=0,此时直线方程为y=22.当直线斜率不存在时,直线方程x=22也满足条件.(2)在(1)的条件下,设切点为P,过P作直线l与圆C1相交于E点,若|PE|=2,求直线l的方程.规律方法两圆相交常见问题的解法(1)若两圆相交,只要x2,y2的系数相等,两圆方程作差所得方程即为两圆公共弦所在直线方程.(2)求两圆公共弦长,①利用两圆方程组成的方程组求得两圆交点的坐标,再利用两点间的距离公式求解.②利用圆心到公共弦所在直线的距离及勾股定理求公共弦长.题型四与圆有关的最值问题[典例4](1)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()(A)6(B)4(C)3(D)2(1)解析:如图所示,圆心M(3,-1)与定直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径长为2,故所求最短距离为6-2=4.故选B.(2)解析:曲线y=-212x表示的图形是一个半圆,直线y=kx-1过定点(0,-1),在同一坐标系中画出直线和半圆的草图,由图可知,k的取值范围是[0,1].故选D.(2)若直线y=kx-1与曲线y=-212x有公共点,则k的取值范围是()(A)(0,43](B)[13,43](C)[0,12](D)[0,1](3)解:设x+y=t,由题意,知直线x+y=t与圆(x-3)2+(y-3)2=6有公共点,所以d≤r,即332t≤6.所以6-23≤t≤6+23.所以x+y的最小值为6-23,最大值为6+23.(3)已知实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求x+y的最大值和最小值.规律方法与圆有关的最值问题是本章中的一个难点,常见的类型包括以下几种:(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离:dmax=|OP|+r,dmin=|OP|-r;(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离:设圆心到直线的距离为m,则dmax=m+r,dmin=|m-r|;(3)已知某点的运动轨迹是(x-a)2+(y-b)2=r2,求yx,ymxn,x2+y2等式子的最值,一般运用几何法求解.题型五易错辨析[典例5]求半径长为4,与圆C:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.错解:由题知,所求圆的圆心为A(a,4),半径长为4,故可设所求圆的方程为(x-a)2+(y-4)2=42.由圆C的方程配方,得(x-2)2+(y-1)2=32.所以圆C的圆心为C(2,1),半径长r=3.由两圆相切,得|CA|=7,所以(a-2)2+(4-1)2=72,解得a=2±210,所以所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16.纠错:上述错解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形,而漏掉了圆心在直线y=0下方的情形,另外错解没有考虑两圆内切的情况,也是不全面的.正解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径长为4,故圆心为A(a,4)或A(a,-4),圆C的圆心为C(2,1),半径长为r=3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.作分类讨论:当取A(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故a=2±210,此时所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16;当取A(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),所以a=2±26,此时所求圆的方程为(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.综上所述,所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.真题赏析·素养升级1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A(A)[2,6](B)[4,8](C)[2,32](D)[22,32]解析:由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=2,圆心到直线x+y+2=0的距离d=2211=22,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=32,最小距离是d-r=2.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=22,所以2≤S△ABP≤6.即△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.2.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a等于()(A)-43(B)-34(C)3(D)2解析:圆心(1,4),则2411aa=1,解得a=-43.故选A.A解析:因为圆(x+1)2+y2=2的圆心为(-1,0),所以圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为d=132=2.故选C.3.(2016·北京卷)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()(A)1(B)2(C)2(D)22C4.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()(A)53(B)213(C)253(D)43B解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以10,330,7230,DFEFDEF所以2,43,31,DEF所以△ABC外接圆的圆心为(1,233),故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为22313=213.5.(2016·山东卷)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离B解析:圆M:x2+y2-2ay=0的圆心M(0,a),半径为a.所以圆心M到直线x+y=0的距离为2a,由直线y+x=0被圆M截得弦长为22知a2-22a=2,故a=2.即M(0,2),且圆M半径为2.又圆N的圆心N(1,1),且半径为1,由|MN|=2,且2-122+1.故两圆相交.故选B.解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.所以圆心C(0,-1),半径r=2.圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d=112=2,所以|AB|=222rd=242=22.6.(2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案:227.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.解析:因为x2+y2-2ay-2=0,所以x2+(y-a)2=2+a2,点(0,a)到直线y=x+2a的距离d=22aa=2a.2+a2-22a=3,所以a2=2,所以r2=2+a2=4,圆面积S=πr2=4π.答案:4π8.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.解析:圆心O到直线l的距离d=2613=3,所以|AB|=22123=23,由题知直线l的倾斜角为30°,所以|CD|=cos30AB=2332=4.答案:4