2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆

知识导图学法指导1.重点掌握用几何法(利用两圆的圆心距与两圆半径长的关系)判断圆与圆的位置关系．2．解决实际问题时，把握建系的技巧．3．处理圆与圆相切的问题时，注意内切与外切均属于相切，在不能确定的情况下应分类讨论．4．体会求两圆的公共弦的方法及步骤．高考导航1.考查圆与圆的位置关系或由圆与圆的位置关系求参数是高考的热点，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，分值为5分．2．两圆的公共弦问题是高考的常考知识点，各种题型均有出现，难度中等，分值为4～6分.知识点一圆与圆的位置关系圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21与圆C2：(x－c)2＋(y－d)2＝r22的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：位置关系几何法代数法图示外离_____________外切_____________相交_____________内切_____________内含_____________|C1C2|r1＋r2Δ0|C1C2|＝r1＋r2Δ＝0|r1－r2||C1C2|r1＋r2Δ0|C1C2|＝|r1－r2|Δ＝0|C1C2||r1－r2|Δ01．应用代数法判定两圆位置关系时应注意：(1)Δ0时，两圆有两个公共点，相交；(2)Δ＝0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；(3)Δ0时，两圆无公共点，包括内含与外离．知识点二用坐标法解决几何问题用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的三个步骤：2．利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，并不能准确地判断位置关系(如：Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ0仅能说明两圆没有公共点，到底是相离还是内含)，必须辅以图形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()×××√2．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切解析：圆心距d＝－2－12＋－2－22＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．答案：B3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：两圆的圆心距为3，半径长之和为2，故两圆外离，公切线有4条．答案：D4．[2019·上海检测]已知以C(－4,3)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，则圆C的方程为________________．解析：设圆C的半径长为r，则(x＋4)2＋(y－3)2＝r2.由题意得两圆圆心距d＝－4－02＋3－02＝5，因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，即5＝r＋1，解得r＝4.故圆C的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝16.答案：(x＋4)2＋(y－3)2＝16类型一两圆位置关系的判定例1已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1和圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？【解析】把圆C1，圆C2的方程化为标准方程，得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圆C1与圆C2外切，则m＋12＋－2－m2＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.(2)如果圆C1与圆C2内含，则m＋12＋－2－m23－2，即m2＋3m＋20，解得－2m－1.将圆的一般方程化成标准方程→结合圆的位置关系得出半径长之间的关系→由此列式求解方法归纳(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练1圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是()A．相交B．外离C．外切D．内含解析：方法一画出两圆，由图可直观得出两圆外离．方法二根据题意，可知圆A与圆B的圆心距d＝－2－12＋－1－32＝54，即drA＋rB，故两圆外离．方法三将两圆的方程联立，得方程组x＋22＋y＋12＝4，x－12＋y－32＝4，即x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，x2＋y2－2x－6y＋6＝0，消去x2，y2，得6x＋8y－5＝0，将其代入圆A(或圆B)的方程中消去y，得100x2＋100x＋169＝0，所以Δ＝1002－4×100×1690，所以方程无实数解，即两圆相离．因为两圆半径长相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离．答案：B思路一求圆C1圆C2的半径r1，r2→求|C1C2|→比较|C1C2|与|r1－r2|，r1＋r2的大小→得出结论思路二联立圆C1与圆C2的方程→整理成关于x或y的一元二次方程→判断判别式的符号→得出结论类型二两圆的公共弦的问题例2已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．【解析】(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10.r1－r2＝52－10，∴r1－r2|C1C2|r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)方法一两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.①②两式相减得x＝2y－4，③把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4，y1＝0，或x2＝0，y2＝2.所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.方法二两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝5，所以公共弦长2l＝25.(1)利用圆心距与两圆半径的和差比较判断两圆的位置关系．(2)求两圆公共弦所在的直线方程，两圆方程相减即可．求弦长，可解方程组求交点坐标，利用两点间的距离公式，也可利用弦心距、半径与弦长的关系求解．方法归纳(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：跟踪训练2(1)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是()A．1B．2C．3D．4(2)[2019·甘肃省兰州第一中学期中]若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦长为23，则a的值为()A．1B．±1C．3D．±2解析：(1)两圆的圆心分别为(－2,2)，(2，－5)，则两圆的圆心距d＝－2－22＋2＋52＝65.又两圆半径分别为1和4，则d1＋4＝5，即两圆外离，因此它们有4条公切线．(2)由题意知，圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直线为2ay－2＝0，而圆心(0,0)到2ay－2＝0的距离为d＝|－2|2a2＝1|a|，所以22＝(3)2＋1|a|2，解得a＝±1.答案：(1)D(2)B类型三圆与圆相切的问题例3已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．【解析】两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6)．半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故有61－m－11＝5.解得m＝25－1011.因为kc1c2＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43，设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×1＋3－b432＋1＝11.解得b＝133±5311.容易验证，当b＝133＋5311，直线与另一圆相交，故舍去．故所求公切线方程为y＝－43x＋133－5311.即4x＋3y＋511－13＝0.(1)利用|C1C2|＝R＋r，求m.(2)利用|C1C2|＝R－r，求m，再求公切线方程．方法归纳求公切线的五个步骤(1)判断公切线的条数．(2)设出公切线的方程．(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值．(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线．(5)归纳总结．注意：对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数．跟踪训练3求圆O：x2＋y2＝36与圆M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切线方程．解析：如图所示，易知两圆相交，公切线有两条．由圆M的方程易得M(0,5)，r＝3.设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，则公切线方程为x0x＋y0y＝36.∵点M到公切线的距离等于3∴|x0·0＋5·y0－36|x20＋y20＝3.∵x20＋y20＝36，又点M在公切线的下方，∴－(5y0－36)＝18，即y0＝185.从而x0＝±36－y20＝±245.∴公切线方程为245x＋185y－36＝0或－245x＋185y－36＝0，即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0.在求两圆的公切线时，首先，要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，应用最佳方法．