2019-2020学年高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念课件 北师大版选修2-2

[自主梳理]一、定积分的概念一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示．将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b.第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]的值最小，设s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝A.其中∫叫作__________，a叫作________，b叫作，f(x)叫作________．积分号积分的下限积分的上限被积函数二、定积分的几何、物理意义1．当f(x)≥0时，abf(x)dx表示的是与所围曲边梯形的面积；2．当f(x)表示速度关于时间x的函数时，abf(x)dx表示的是运动物体从x＝a到x＝b时所走过的________．y＝f(x)x＝a,x＝b和x轴路程三、定积分的性质性质1：ab1dx＝________；性质2：abkf(x)dx＝_________；性质3：abfx±gxdx＝；性质4：abf(x)dx＝.b－akabf(x)dxabf(x)dx±abg(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx[双基自测]1．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝2t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间所走的路程为()A.13B.12C．1D．2解析：所走的路程为012tdt，由定积分的几何意义作图(图略)求得012tdt＝1.答案：C2．下列式子中不成立的是()A．∫2π＋aasinxdx＝∫2π＋aacosxdxB．20sindxx＝20cosdxxC.0πsinxdx＝0πcosxdxD.0π|sinx|dx＝0π|cosx|dx解析：分别作出被积函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx在各区间上的图像，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立．答案：C3．若abf(x)dx＝3，abg(x)dx＝2，则ab[f(x)＋g(x)]dx＝________.解析：由定积分的性质易得ab[f(x)＋g(x)]dx＝abf(x)dx＋abg(x)dx＝3＋2＝5.5探究一对定积分定义的理解(曲边梯形的面积)[例1]求抛物线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.[解析](1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[0，1n]，[1n，2n]，…，[n－1n，1]．记第i个区间为[i－1n，in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝in－i－1n＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则S＝i＝1nΔSi.(2)近似代替：记f(x)＝x2.当n很大，即Δx很小时，在区间[i－1n，in]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i－1n处的函数值f(i－1n)．就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[i－1n，in]上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝f(i－1n)Δx＝(i－1n)2·Δx＝(i－1n)2·1n(i＝1,2，…，n)．①(3)求和：由①，得Sn＝i＝1nΔSi′＝i＝1nf(i－1n)Δx＝i＝1n(i－1n)2·1n＝[0·1n＋(1n)2·1n＋…＋(n－1n)2·1n]＝1n3[12＋22＋…＋(n－1)2]＝1n3·nn－12n－16＝13(1－1n)(1－12n)．从而得到S的近似值S≈Sn＝13(1－1n)(1－12n)．②(4)取极限：分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到随着n的不断增大，即Δx越来越小时，Sn＝13(1－1n)(1－12n)越来越趋近于S，而当n趋向于＋∞时，②式无限趋近于13，即所求面积为13.用分割，近似代替，求和，取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整为零(分割)，积零为整(取极限)的思想方法．1．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S.解析：(1)分割：在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[1，n＋1n]，[n＋1n，n＋2n]，…，[n＋n－1n，2]，记第i个区间为[n＋i－1n，n＋in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝i＝1nΔSi.(2)近似代替：记f(x)＝1x2.当n很大，即Δx很小时，在区间[n＋i－1n，n＋in]上，可以认为f(x)＝1x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f(n＋i－1n·n＋in)．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[n＋i－1n，n＋in]上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝f(n＋i－1n·n＋in)Δx＝n2n＋i－1n＋i·1n＝nn＋i－1n＋i(i＝1,2，…，n)．(3)求和：小曲边梯形的面积和Sn＝i＝1nΔSi≈i＝1nΔSi′＝i＝1nnn＋i－1n＋i＝nnn＋1＋nn＋1n＋2＋…＋nn＋n－1n＋n＝n(1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋1n＋n－1－1n＋n)＝n(1n－12n)＝12.从而得到S的近似值S≈Sn＝12.(4)取极限：分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝12.∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S为12.探究二用定积分的几何意义求定积分[例2]用定积分的几何意义求abx－ab－xdx(b＞0)的值．[解析]令y＝f(x)＝x－ab－x，则有x－a＋b22＋y2＝b－a22，表示以a＋b2，0为圆心，半径为b－a2的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝12πr2＝π2b－a22＝πb－a28，由定积分的几何意义可知，abx－ab－xdx＝πb－a28.由定积分的几何意义求定积分的步骤(1)当f(x)≥0时，abf(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算abf(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边梯形的三条直边，x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)≥0时，abf(x)dx＝S；当f(x)＜0时，abf(x)dx＝－S.2．用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)114x2dx(2)22sinxdx；(3)522(1sin)d.xx＋解析：(1)由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．114x2dx等于圆心角为π3的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－3，S矩形＝AB·BC＝23，∴1214xdx＝23＋2π3－3＝2π3＋3.(2)∵函数y＝sinx在x∈[－π2，π2]上是奇函数，∴22sindxx＝0.(3)函数y＝1＋sinx的图像如图所示，522(1sin)dxx＋＝S矩形ABCD＝2π.探究三定积分性质的应用[例3]已知01x3dx＝14，12x3dx＝154，12x2dx＝73，24x2dx＝563，求：(1)02(3x3)dx；(2)14(6x2)dx.[解析](1)02(3x3)dx＝302x3dx＝301x3dx＋12x3dx＝3×14＋154＝12.(2)14(6x2)dx＝614x2dx＝612x2dx＋24x2dx＝6×73＋563＝126.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．3．已知0exdx＝e22，0ex2dx＝e33，求下列定积分的值：(1)0e(2x＋x2)dx；(2)0e(2x2－x＋1)dx.解析：(1)0e(2x＋x2)dx＝20exdx＋0ex2dx＝2×e22＋e33＝e2＋e33.(2)0e(2x2－x＋1)dx＝20ex2dx－0exdx＋0e1dx，因为0exdx＝e22，0ex2dx＝e33，又由定积分的几何意义知：0e1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，所以0e1dx＝1×e＝e，故0e(2x2－x＋1)dx＝2×e33－e22＋e＝23e3－12e2＋e.因忽视定积分的几何意义而致误[例4]定积分02(－4－x2)dx＝________.[解析]曲线y＝4－x2，即x2＋y2＝4(0≤x≤2,0≤y≤2)，表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的圆弧和点(2,0)，(0,2)，024－x2dx表示被积函数y＝4－x2在积分区间[0,2]上的图像与x轴围成的平面图形的面积S＝14πr2＝π，即024－x2dx＝π，所以02(－4－x2)dx＝－024－x2dx＝－π.[答案]－π[错因与防范]本题易忽视被积函数的符号而错解定积分的值为π.对于定积分abf(x)dx，当f(x)≥0时，定积分就等于曲边梯形的面积；当f(x)＜0时，定积分等于曲边梯形面积的相反数；计算定积分时，常常运用定积分的性质2，即abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)，将被积函数中的系数调整位置以后再计算．