2019-2020学年高中数学 第四章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值

一、最值点的概念1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上________的函数值__________f(x0)．2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上________的函数值__________f(x0)．二、最值的概念函数的________和________统称最值．所有点都不超过所有点都不小于最大值最小值三、最值点的可能位置函数的最值可能在________取得，也可能在____________取得．四、求函数最大(小)值的步骤设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值，可分两步进行：(1)求y＝f(x)在(a，b)内的____________；(2)将y＝f(x)的各______________与____，____比较，其中最大(小)的一个为最大(小)值．极值点区间的端点极大(小)值极大(小)值f(a)f(b)[疑难提示]函数的极值和最值的区别和联系(1)区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者．②函数的极值可以有多个，但最值至多有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得．(2)联系：如果在区间(a，b)上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间(a，b)可以是无穷区间．[练一练]1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值解析：由函数最值和极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．答案：D2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A.239B.229C.329D.38解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0，得x＝33(x＝－33舍去)．计算比较得最大值为f33＝239.答案：A探究一求函数的最值[典例1]求下列各函数的最大值与最小值．(1)f(x)＝x3－2x2＋1，x∈[－1,2]；(2)f(x)＝a2x＋b21－x，x∈(0,1)(ba0)．[解析](1)f′(x)＝3x2－4x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝43.因此x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)00，434343，22f′(x)＋0－0＋f(x)－21－5271∴f(x)max＝1，f(x)min＝－2.(2)f′(x)＝－a2x2＋b21－x2＝b2x2－a21－x2x21－x2.令f′(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0，解得x＝aa＋b.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，aa＋baa＋baa＋b，1f′(x)－0＋f(x)极小值从上表看出，函数在x＝aa＋b处取得极小值，且faa＋b＝(a＋b)2.所以函数f(x)在区间(0,1)内的极小值也就是最小值，即函数f(x)＝a2x＋b21－x在区间(0,1)上的最小值是(a＋b)2，f(x)在(0,1)上不存在最大值．对于函数f(x)在[a，b]上图像连续不断，在(a，b)内存在导数，函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值只能在各极值点或区间端点处取得．故可以先求出f(x)在(a，b)内所有的极值，再求出端点处的函数值f(a)、f(b)，比较各极值与端点处的函数值就可以得到f(x)在[a，b]上的最大值和最小值．1．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；(2)f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]；(3)f(x)＝1－xx＋lnx，x∈12，2.解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，x∈[－1,1]．∵f′(x)在[－1,1]上恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．∴当x＝－1时，f(x)取得最小值－12，当x＝1时，f(x)取得最大值2.∴f(x)的最小值为－12，最大值为2.(2)f′(x)＝4x2＋1－2x·4xx2＋12＝－4x2＋4x2＋12，令f′(x)＝0，得x＝1或－1.又f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴f(x)的最大值为2，最小值为－2.(3)∵f(x)＝1－xx＋lnx＝1x－1＋lnx，∴f′(x)＝1x－1x2＝x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1.在12，2上，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x12，11(1,2]f′(x)－0＋f(x)极小值∵在12，2上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.又f12＝1＋ln12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2，∴f12－f(2)＝32－2ln2＝12(3－4ln2)＝12lne3160，∴f12f(2)，∴f(x)在12，2上的最大值为f12＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.2．求下列函数的最大值与最小值：(1)f(x)＝2sinx－x(x∈[－π2，π2])；(2)f(x)＝x3－3x＋3(x∈[0，t])．解析：(1)∵f′(x)＝2cosx－1，令f′(x)＝0，有2cosx－1＝0，解之得x1＝π3，x2＝－π3.根据x1，x2列表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点.x－π2(－π2，－π3)－π3(－π3，π3)π3π3，π2π2f′(x)－1－0＋0－－1f(x)π2－2极小值π－333极大值33－π32－π2由上表可知，最大值为33－π3，最小值为π－333.(2)∵f(x)＝x3－3x＋3，∴f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1.由0≤x≤t，①当0t≤1时，f′(x)0，f(x)在区间[0，t]上是递减的．∴当x＝t时，f(x)取最小值为f(t)＝t3－3t＋3；当x＝0时，f(x)取最大值为f(0)＝3.②当t1，x变化时，根据x1，x2列表x0(0,1)1(1，t)tf′(x)0－0＋3t2－3f(x)3极小值1t3－3t＋3从上表知：当x＝1时，f(x)取最小值为f(1)＝1；f(x)的最大值是f(0)与f(t)中较大的一个．∴当1t≤3时，f(x)最大值为f(0)＝3，当t3时，f(x)最大值为f(t)＝t3－3t＋3.综上，得当0t≤1时，f(x)的最大值为3，最小值为t3－3t＋3；当1t≤3时，f(x)的最大值为3，最小值为1；当t3时，f(x)的最大值为t3－3t＋3，最小值为1.探究二已知函数最值求参数[典例2]设23a1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a，b.[解析]令f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)＝0，得x1＝0，x2＝a当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0，a)a(a,1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－32a＋bb－a32＋b1－32a＋b从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)f(a)，f(1)f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小，因为f(0)－f(1)＝32a－10，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝63.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)＋0－0f(x)－40＋a极大值a－8＋a∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.当x＝0时，f(x)的最大值为3.4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求实数c的取值范围．解析：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′－23＝43－43a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，x∈[－1,2]，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－1，－23－23－23，11(1,2]f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)在－1，－23上单调递增，在－23，1上单调递减，在(1,2]上单调递增，∴当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，要使f(x)c2对任意x∈[－1,2]恒成立，则只需c2f(2)＝2＋c，解得c－1或c2.∴实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．探究三导数的实际应用利用导数解决实际问题中的最值问题——面积、容积最大小值问题—利润最大问题—用料最省问题—成本最低问题5．将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余的部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底，①②③④为侧面，⑤⑥为水箱盖，其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)．设水箱的高为x米，容积为y立方米．(1)写出y关于x的函数关系式；(2)如何设计x的大小，使得水箱的容积最大？解析：(1)依题意，水箱底的宽为(2－2x)米，长为6－2x2＝(3－x)米，则水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x(0x1)，即为y关于x的函数关系式．(2)∵y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0x1)，∴y′＝6x2－16x＋6.令y′＝6x2－16x＋6＝0，得x＝4－73(x＝4＋73舍去)，当0x4－73时y′0，函数是递增的，当4－73x1时y′0，函数是递减的，∴当x＝4－73时，函数y＝(2－2x)(3－x)x(0x1)取得最大值，∴设计x＝4－73米，水箱容积最大．6．几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(件)与销售价格x(元/件)(x∈N＋)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤76时，t(x)＝－100x＋7600.记该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格．解析：(1)当x＝60时，－a(60＋5)2＋10050＝－100×60＋7600，解得a＝2.∴M(x)＝－2x2－20x＋10000x－34－20000，34≤x≤60，x∈N＋－100x＋7600x－34－20000，60≤x≤76，x∈N＋，即M(x)＝－2x3＋48x2＋10680x－